9.1. Standardform

Læringsmål

• Kunne representere en andregradsfunksjon på standardform, og kunne lese av koeffisientene.

• Kunne avgjøre den grafiske formen til en andregradsfunksjon ut fra koeffisientene.

• Kunne bestemme koeffisientene til en andregradsfunksjon ved hjelp av lineære likningssystemer.

Algebraisk representasjon

Andregradsfunksjon: standardform

Standardformen til en andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

Vi merker oss at koeffisienten \(a\) kalles for ledende koeffisient fordi det er koeffisienten foran den største potensen av \(x\). Altså er ikke \(a\) “stigningstall” når vi snakker om andregradsfunksjoner.

Eksempel 1: Andregradsfunksjoner

I tabellen under vises en rekke andregradsfunksjoner og deres koeffisienter.

Funksjon	\(a\)	\(b\)	\(c\)
\(f(x) = 2x^2 + 3x + 1\)	\(2\)	\(3\)	\(1\)
\(g(x) = -x^2 + 4x - 2\)	\(-1\)	\(4\)	\(-2\)
\(h(x) = 3x^2 - 2x + 5\)	\(3\)	\(-2\)	\(5\)
\(p(x) = 2x^2\)	\(2\)	\(0\)	\(0\)
\(q(x) = x^2 - 3x\)	\(1\)	\(-3\)	\(0\)
\(r(x) = -x^2 + 4\)	\(-1\)	\(0\)	\(4\)

Så er det din tur:

Underveisoppgave 1

Fyll ut tabellen med koeffisientene eller funksjonsuttrykket til andregradsfunksjonene:

Funksjon	\(a\)	\(b\)	\(c\)
\(f(x) = 3x^2 + 2x + 1\)
\(g(x) = -2x^2 + 5x - 3\)
\(h(x) = \)	\(-1\)	\(6\)	\(0\)
\(p(x) = 3x^2\)
\(q(x) = x^2 - 2x\)
\(r(x) = \)	\(-2\)	\(0\)	\(-5\)

Løsning

Funksjon	\(a\)	\(b\)	\(c\)
\(f(x) = 3x^2 + 2x + 1\)	\(3\)	\(2\)	\(1\)
\(g(x) = -2x^2 + 5x - 3\)	\(-2\)	\(5\)	\(-3\)
\(h(x) = -x^2 + 6x\)	\(-1\)	\(6\)	\(0\)
\(p(x) = 3x^2\)	\(3\)	\(0\)	\(0\)
\(q(x) = x^2 - 2x\)	\(1\)	\(-2\)	\(0\)
\(r(x) = -2x^2 - 5\)	\(-2\)	\(0\)	\(-5\)

Grafisk representasjon

Her skal vi se nærmere på hvordan grafen til en andregradsfunksjon ser ut og hvordan koeffisientene påvirker formen på grafen.

Utforsk 1

Koeffisient: \(a\)

Under er en andregradsfunksjon vist der du kan variere verdien til koeffisienten \(a\).

1. Hva skjer med grafen når \(a > 0\).

2. Hva skjer med grafen når \(a < 0\).

3. Hva skjer med grafen når \(|a|\) er stor eller liten?

Oppsummering: Koeffisient \(a\)

1. Grafen har et “smilefjes” når \(a > 0\). Vi sier at grafen er konveks.

2. Grafen har et “surt fjes” når \(a < 0\). Vi sier at grafen er konkav.

3. Når \(|a|\) er stor, vil grafen bli brattere og smalere. Når \(|a|\) er liten, vil grafen få lavere stigning og bli bredere.

Koeffisient: \(b\)

Effekten til \(b\) er påvirket av fortegnet til \(a\). Du finner ett vindu med \(a > 0\) og ett med \(a < 0\).

1. Hva skjer med grafen når \(b = 0\)?

2. Hva skjer med grafen når \(b > 0\)?

3. Hva skjer med grafen når \(b < 0\)?

Når \(a > 0\)

Når \(a < 0\)

Oppsummering: Koeffisient \(b\)

\(a > 0\)

1. Når \(b = 0\), vil grafen være symmetrisk om \(y\)-aksen.

2. Når \(b > 0\), forskyver vi grafen til venstre for \(y\)-aksen.

3. Når \(b < 0\), forskyver vi grafen til høyre for \(y\)-aksen.

\(a < 0\)

1. Når \(b = 0\), vil grafen være symmetrisk om \(y\)-aksen.

2. Når \(b > 0\), forskyver vi grafen til høyre for \(y\)-aksen.

3. Når \(b < 0\), forskyver vi grafen til venstre for \(y\)-aksen.

Effekten til \(b\) er altså motsatt når \(a < 0\) sammenlignet med når \(a > 0\).

Koeffisient: \(c\)

1. Hva skjer med grafen når \(c = 0\)?

2. Hva bestemmer \(c\) for grafen generelt?

Oppsummering: Koeffisient \(c\)

1. Når \(c = 0\), skjærer grafen gjennom origo.

2. Verdien til \(c\) bestemmer hvor grafen skjærer \(y\)-aksen.

---

Jobb med Utforsk 1 før du ser på oppsummeringen under.

Oppsummering: koeffisienter og graf

Påvirkningen til koeffisientene til en andregradsfunksjon \(f(x) = ax^2 + bx + c\) kan oppsummeres som:

Koeffisient \(a\)

\(a\) bestemmer om grafen er konveks (smiler \(\smile\) ) eller konkav (surt fjes \(\frown\)).

Koeffisient \(b\)

Bestemmer forskyvningen av grafen fra \(y\)-aksen. Fortegnet til \(a\) bestemmer hvilken retning \(b > 0\) og \(b < 0\) gir.

\(a > 0\)

\(a < 0\)

Koeffisient \(c\)

Bestemmer hvor grafen skjærer \(y\)-aksen.

---

Bestemme \(f(x)\)

Vi skal se nærmere på hvordan vi kan bruke lineære likningssystemer for å bestemme koeffisientene til en andregradsfunksjon.

Eksempel 2: Bestemme \(f(x)\)

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i Fig. 9.1.

Bestem \(f(x)\).

Fig. 9.1 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Løsning

En andregradsfunksjon kan skrives på standardform

\[ f(x) = ax^2 + bx + c. \]

Vi har tre ukjente koeffisienter – vi må derfor ha tre likninger for å kunne bestemme \(a\), \(b\) og \(c\).

Fra Fig. 9.1, kan vi lese av at grafen til \(f\) går gjennom punktene \((0, -6)\) og \((-2, 0)\) og \((3, 0)\). Dette betyr at \(f(x)\) må oppfylle likningssystemet:

\[\begin{align*} f(0) &= -6 && \text{Punktet $(0, -6)$} \\ \\ f(-2) &= 0 && \text{Punktet $(-2, 0)$} \\ \\ f(3) &= 0 && \text{Punktet $(3, 0)$} \end{align*}\]

Vi løser likningssystemet med CAS:

Dermed er

\[ a = 1 \and b = -1 \and c = -6. \]

Da følger det at

\[ f(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c = x^2 - x - 6. \]

---

Underveisoppgave 2

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i Fig. 9.2.

Bestem \(f(x)\).

Fig. 9.2 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Åpne CAS‑vindu

Fasit

\[ f(x) = -x^2 + x + 2. \]

Løsning

Vi starter med standardformen til en andregradsfunksjon

\[ f(x) = ax^2 + bx + c. \]

Vi trenger tre likninger fordi vi har tre ukjente koeffisienter. Vi kan lese av grafen til \(f\) går gjennom punktene \((-1, 0)\), \((2, 0)\) og \((1, 2)\). Da kan vi sette opp likningssystemet:

\[\begin{align*} f(-1) &= 0 && \text{Punktet $(-1, 0)$} \\ \\ f(2) &= 0 && \text{Punktet $(2, 0)$} \\ \\ f(1) &= 2 && \text{Punktet $(1, 2)$} \end{align*}\]

Vi løser likningssystemet med CAS:

Altså er

\[ a = -1 \and b = 1 \and c = 2 \]

som betyr at

\[ f(x) = ax^2 + bx + c = -x^2 + x + 2. \]