Oppgaver: Nullpunktsform

Oppgave 1

---

Oppgave 2

Bestem nullpunktene til hver av funksjonene.

a

\[ f(x) = -2(x + 2)(x - 1) \]

Fasit

\[ x = -2 \quad \lor \quad x = 1 \]

b

\[ g(x) = 4(x - 2)(x - 5) \]

Fasit

\[ x = 2 \quad \lor \quad x = 5 \]

c

\[ g(x) = \dfrac{1}{2}(x - 1)(x + 1) \]

Fasit

\[ x = -1 \quad \lor \quad x = 1 \]

d

\[ g(x) = -\left(x + \dfrac{1}{3}\right)(x - 3) \]

Fasit

\[ x = -\dfrac{1}{3} \quad \lor \quad x = 3 \]

---

Oppgave 3

For hver av funksjonene, bestem nullpunktsformen til funksjonsuttrykket fra grafen.

a

Bestem \(f(x)\).

Fig. 9.18 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Fasit

\[ f(x) = 2(x + 1)(x - 2) \]

b

Bestem \(g(x)\).

Fig. 9.19 viser grafen til en andregradsfunksjon \(g\).

Fasit

\[ g(x) = -\dfrac{1}{4}(x + 1)^2 \]

c

Bestem \(h(x)\).

Fig. 9.20 viser grafen til en andregradsfunksjon \(h\).

Fasit

\[ h(x) = -(x + 3)(x - 1) \]

d

Bestem \(r(x)\).

Fig. 9.21 viser grafen til en andregradsfunksjon \(r\).

Fasit

\[ r(x) = 5(x + 1)(x - 1) \]

---

Oppgave 4

a

En andregradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = (x - 1)(x + 3) \]

Bestem standardformen til \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = x^2 + 2x - 3 \]

b

En andregradsfunksjon er gitt ved

\[ g(x) = 2(x - 2)(x + 4) \]

Bestem standardformen til \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = 2x^2 + 4x - 16 \]

c

En andregradsfunksjon er gitt ved

\[ h(x) = -\dfrac{1}{2}(x - 1)(x + 1) \]

Bestem standardformen til \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{2} \]

d

En andregradsfunksjon er gitt ved

\[ r(x) = -\left(x + \dfrac{1}{3}\right)(x - 3) \]

Bestem standardformen til \(r(x)\).

Fasit

\[ r(x) = -x^2 + \dfrac{8}{3}x + 1 \]

---

Oppgave 5

a

En andregradsfunksjon \(f\) har nullpunktene

\[ x = -2 \quad \lor \quad x = 3 \]

og går gjennom punktet \((1, 5)\).

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = -\dfrac{5}{6}(x + 2)(x - 3) \]

b

En andregradsfunksjon \(g\) har nullpunktene

\[ x = 1 \quad \lor \quad x = 4 \]

og går gjennom punktet \((2, 3)\).

Bestem \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = -\dfrac{3}{2}(x - 1)(x - 4) \]

c

En andregradsfunksjon \(h\) har nullpunktene

\[ x = -1 \quad \lor \quad x = 2 \]

og går gjennom punktet \((3, 4)\).

Bestem \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = (x + 1)(x - 2) \]

d

En andregradsfunksjon \(r\) har nullpunktene

\[ x = -\dfrac{1}{2} \quad \lor \quad x = 2 \]

og går gjennom punktet \((-2, 4)\).

Bestem \(r(x)\).

Fasit

\[ r(x) = \dfrac{2}{3}\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 2) \]

---

Oppgave 6

a

En andregradsfunksjon \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \(x = -1\) og \(x = 3\). I tillegg skjærer grafen i \(y\)-aksen i \(y = 6\).

Bestem nullpunktsformen til \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = -2(x + 1)(x - 3) \]

b

En andregradsfunksjon \(g\) har nullpunktene \(x = 1\) og \(x = -3\). Grafen går gjennom punktet \((-1, 3)\).

Bestem nullpunktsformen til \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = -\dfrac{3}{4}(x - 1)(x + 3) \]

c

En andregradsfunksjon \(h\) har nullpunktene \(x = -1\) og \(x = 2\). Grafen går gjennom punktet \((1, 4)\).

Bestem nullpunktsformen til \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = -2(x + 1)(x - 2) \]

d

En andregradsfunksjon \(r\) går gjennom punktene \(\left(-\dfrac{1}{2}, 0\right)\) og \((3, 0)\) og \((0, 2)\).

Bestem nullpunktsformen til \(r(x)\).

Fasit

\[ r(x) = -\dfrac{4}{3}\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 3) \]

---

Oppgave 7

Mange andregradsfunksjoner har ikke noen nullpunkter. Likevel kan vi bruke nullpunktsform som del av en strategi for å bestemme funksjonsuttrykket til funksjonen. I denne oppgaven skal du lære hvordan vi kan gjøre dette.

Strategi

Hvis en andregradsfunksjon skjærer linja \(y = y_0\) i \(x = x_1\) og \(x = x_2\), kan vi uttrykke \(f(x)\) som

Du kan prøve å anvende strategien på oppgavene under direkte, eller du kan lese eksempelet under hvis du trenger litt mer detaljer for å komme i gang!

Eksempel

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i Fig. 9.22.

Bestem standardformen til \(f(x)\).

Fig. 9.22 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Løsning

Grafen til \(f\) skjærer linja \(y = 2\) i \(x = -3\) og \(x = -1\). Dermed kan vi skrive

\[ f(x) = a(x + 3)(x + 1) + 2 \]

Vi kan se at grafen skjærer \(y\)-aksen i \(y = 5\) som betyr at

\[\begin{align*} f(0) &= 5 \\ \\ a(0 + 3)(0 + 1) + 2 &= 5 \\ \\ 3a + 2 &= 5 \\ \\ 3a &= 3 \\ \\ a &= 1 \end{align*}\]

Dermed er standardformen til \(f(x)\) gitt ved

\[\begin{align*} f(x) &= (x + 3)(x + 1) + 2 \\ \\ &= x^2 + 4x + 3 + 2 \\ \\ &= x^2 + 4x + 5 \end{align*}\]

Bruk strategien over til å bestemme funksjonsuttrykkene under.

a

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i Fig. 9.23.

Bestem standardformen til \(f(x)\).

Fig. 9.23 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Fasit

\[ f(x) = x^2 - 2x + 3 \]

b

En andregradsfunksjon \(g\) er vist i Fig. 9.24.

Bestem standardformen til \(g(x)\).

Fig. 9.24 viser grafen til en andregradsfunksjon \(g\).

Fasit

\[ g(x) = -x^2 + 4x - 5 \]

c

En andregradsfunksjon \(h\) er vist i Fig. 9.25.

Bestem standardformen til \(h(x)\).

Fig. 9.25 viser grafen til en andregradsfunksjon \(h\).

Fasit

\[ h(x) = 2x^2 + 12x + 21 \]

d

En andregradsfunksjon \(r\) er vist i Fig. 9.26.

Bestem standardformen til \(r(x)\).

Fig. 9.26 viser grafen til en andregradsfunksjon \(r\).

Fasit

\[ r(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 - 2x - 6 \]