3.1. Standardform

Læringsmål

• Kunne representere en lineær funksjon på standardform og beskrive sammenhengen med den grafiske representasjonen.

• Kunne bytte fra en representasjon til en annen.

Koordinatsystemet og funksjonsverdier

Et viktig verktøy i praksis er koordinatsystemet siden vi ofte visualiserer grafen til funksjoner der.

Koordinatsystemet

Koordinatsystemet består av to tallinjer som vi kaller for akser. De to aksene er:

• \(x\)-aksen (den horisontale aksen - også kalt førsteaksen).

• \(y\)-aksen (den vertikale aksen - også kalt andreaksen).

Punktet der aksene møtes kaller vi for origo. Origo har koordinatene \((0, 0)\).

For å finne et punkt \((x, y)\) i koordinatsystemet, går vi \(x\) plasser parallelt med \(x\)-aksen og \(y\) plasser parallelt med \(y\)-aksen. Da står vi på punktet \((x, y)\). Vi kaller \(x\)-verdien til punktet for \(x\)-koordinaten og \(y\)-verdien for \(y\)-koordinaten.

I figuren nedenfor vises en konkret eksempel med punktet \((3, 2)\).

Fig. 3.1 viser et koordinatsystem med punktet \((3, 2)\). For å finne punktet går vi \(3\) plasser parallelt med \(x\)-aksen og \(2\) plasser parallelt med \(y\)-aksen.

---

Underveisoppgave 1

I figuren nedenfor vises et koordinatsystem med seks punkter \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) og \(F\).

Sett sammen riktig koordinater \((x, y)\) med riktig punktnavn.

Du har kanskje tidligere lært at en lineær funksjon \(f\) er en funksjon på formen

\[ f(x) = a\cdot x + b \]

der \(a\) og \(b\) er konstanter. Vi kaller \(f(x)\) for funksjonsverdien til \(f\) i \(x\) der vi tenker oss at vi erstatter \(x\) med et tall. Det er også vanlig å kalle \(f(x)\) for funksjonsuttrykket til \(f\) når vi ikke tenker på noe spesielt tall for \(x\).

Funksjonsverdier: Algebraisk og grafisk

For en lineær funksjon \(f\) kan vi bestemme funksjonsverdier \(f(x)\) på to måter:

1. Algebraisk: Vi setter inn verdien til \(x\) i funksjonsuttrykket \(f(x)\).

2. Grafisk: Vi leser av et punkt \((x, y)\) på grafen til \(f\) der \(y = f(x)\).

Nedenfor vises et eksempel på hvordan vi kan bestemme \(f(3)\) for

\[ f(x) = 2\cdot x + 1. \]

Algebraisk

Vi erstatter verdien til \(x\) med \(3\) i funksjonsuttrykket \(f(x)\) og regner ut:

\[ f(\textcolor{red}{3}) = 2 \cdot \textcolor{red}{3} + 1 = 6 + 1 = 7. \]

Grafisk

Klikk på figuren for å se nærmere!

Fig. 3.2 viser at linjen \(x = 3\) skjærer grafen til \(f\) i punktet \((3, 7)\) som betyr at \(y = 7\) når \(x = 3\). Dermed er \(f(3) = 7\).

---

Underveisoppgave 2

En lineær funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -2\cdot x + 1 \]

a

Regn ut \(f(2)\) og \(f(-1)\).

Fasit

\[\begin{align*} f(2) &= -3 \\ \\ f(-1) &= 3 \end{align*}\]

Løsning

\[\begin{align*} f(\textcolor{red}{2}) &= -2\cdot \textcolor{red}{2} + 1 = -4 + 1 = -3, \\ \\ f(\textcolor{red}{-1}) &= -2\cdot (\textcolor{red}{-1}) + 1 = 2 + 1 = 3. \end{align*}\]

b

Nedenfor vises grafen til \(f\).

Bruk grafen til å bestemme \(f(-2)\) og \(f(1)\).

Fasit

\[\begin{align*} f(-2) &= 5 \\ \\ f(1) &= -1 \end{align*}\]

Løsning

Linjen \(x = -2\) skjærer grafen til \(f\) i punktet \((-2, 5)\) som betyr at \(f(-2) = 5\).

Linjen \(x = 1\) skjærer grafen til \(f\) i punktet \((1, 1)\) som betyr at \(f(1) = 1\).

Representasjon: Standardform

En representasjon er en måte å beskrive noe på. En lineær funksjon kan representeres på flere måter, for eksempel med en formel som vi gjerne kaller for en algebraisk representasjon. En lineær funksjon kan også representeres grafisk med en graf. Det finnes flere representasjoner, men disse er de to viktigste. Videre kan vi skrive den algebraiske representasjonen på en måte som gir oss umiddelbar informasjon om grafen til \(f\). Her skal vi fokusere på en algebraisk representasjon vi kaller for standardform.

Standardform: Algebraisk representasjon

En lineær funksjon \(f\) kan skrives på standardform som

• Verdien til \(a\) er hvor mye \(f(x)\) endrer seg når vi øker \(x\) med \(1\). Vi kaller \(a\) for stigningstallet til grafen til \(f\).

• Verdien til \(b\) er \(y\)-koordinaten til skjæringspunktet mellom grafen til \(f\) og \(y\)-aksen. Vi kaller ofte \(b\) for konstantleddet til \(f(x)\).

---

Utforsk 2

Nedenfor vises grafen til en lineær funksjon \(f\) i et interakivt vindu der \(f(x)\) er gitt ved

\[ f(x) = ax + b. \]

a

1. Juster verdien til \(a\) og undersøk hva som skjer med grafen til \(f\).

2. Hvordan kan man lese av hvilken verdi \(a\) har fra grafen til \(f\)?

b

1. Juster verdien til \(b\) og undersøk hva som skjer med grafen til \(f\).

2. Hvordan kan man lese av hvilken verdi \(b\) har fra grafen til \(f\)?

---

Quiz 1

---

Underveisoppgave 3

Nedenfor vises grafen til en lineær funksjon \(f\).

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = 3\cdot x - 2 \]

Løsning

Vi starter med \(f(x)\) på standardform:

\[ f(x) = a\cdot x + b \]

Fra grafen til \(f\) kan vi lese av at den skjærer \(y\)-aksen i \((0, -2)\) som betyr at \(b = -2\). Øker vi \(x\) med \(1\), så vil \(y\)-verdien til grafen øke med \(3\) som betyr at \(a = 3\). Dermed får vi

\[ f(x) = 3 \cdot x - 2. \]

Topunktsformelen

Vi vet allerede nå at vi kan bestemme stigningstallet \(a\) til en lineær funksjon ved å sjekke hvor mye \(f(x)\) endrer seg når vi øker \(x\) med \(1\). Men vi vet ikke alltid funksjonsverdier til \(f\) i \(x\)-verdier som ligger en avstand \(1\) fra hverandre. Da trenger vi en annen metode for å bestemme stigningstallet.

Utforsk 3

Nedenfor vises grafen til en lineær funksjon \(f\) i et interakivt vindu. Her kan du variere avstanden på \(x\)-aksen mellom to punkter \(A\) og \(B\) som ligger på grafen til \(f\).

Anna mener at hvis en funksjon går gjennom punktene \((x_0, y_0)\) og \((x_1, y_1)\), så kan vi bruke formelen

\[ a = \dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \]

til å regne ut stigningstallet \(a\) til grafen til \(f\).

a

Ut ifra figuren nedenfor, kan du si hva stigningstallet til grafen til \(f\) er?

Fasit

\[ a = 2 \]

b

Vi lar punktet \(A = (x_0, y_0)\). Hvilket punkt er dette i figuren nedenfor?

Fasit

\[ A = (1, 3) \]

c

Endre på verdien til \(x_1\) slik at \(x_1 = 3\).

Prøv ut formelen til Anna og sjekk om du får det samme svaret som i oppgave a.

Løsning

Når \(x_1 = 3\), er punktet \(B = (3, 7)\). Med formelen til Anna får vi derfor

\[ a = \dfrac{7 - 3}{3 - 1} = \dfrac{4}{2} = 2. \]

Så vi får det samme svaret som i oppgave a.

d

Endre på verdien til \(x_1\) slik at \(x_1 = -2\).

Prøv ut formelen til Anna og sjekk om du får det samme svaret som i oppgave a.

Løsning

Når vi endrer på \(x_1\) til å bli \(x_1 = -2\), så får vi punktet \(B = (-2, -3)\). Med formelen til Anna får vi derfor

\[ a = \drac{-3 - 3}{-2 - 1} = \dfrac{-6}{-3} = 2. \]

Igjen, får vi samme svar som i oppgave a.

---

Topunktsformelen

Hvis grafen til en lineær funksjon \(f\) går gjennom punktene \((x_0, y_0)\) og \((x_1, y_1)\), så er stigningstallet \(a\) gitt ved

\[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \]

der vi har definert

\[ \Delta y = y_1 - y_0 \og \Delta x = x_1 - x_0 \]

Vi leser symbolet \(\Delta\) som “endring i” slik at \(\Delta y\) betyr “endring i \(y\)-verdien” og \(\Delta x\) betyr “endring i \(x\)-verdien”.

---

Underveisoppgave 4

Grafen til en lineær funksjon \(f\) går gjennom punktene \((-1, 2)\) og \((2, 5)\).

Bestem stigningstallet \(a\) til grafen til \(f\) ved hjelp av topunktsformelen $a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$ .

Fasit

\[ a = 1 \]

Løsning

\[ a = \dfrac{5 - 2}{2 - (-1)} = \dfrac{3}{3} = 1 \]