18. Optimering

Læringsmål

• Kunne bruke den deriverte til å bestemme topp- og bunnpunkter til polynomfunksjoner.

• Kunne bruke den deriverte til å maksimere eller minimere polynomfunksjoner.

Optimering handler om å bestemme den største eller minste verdien av noe, for eksempel det største arealet til en trekant.

I praksis handler optimering om å bestemme ekstremalpunktene til en funksjon \(f\), der funksjonen \(f\) er en modell for det vi ønsker å maksimere eller minimere.

Begreper: Maksimere og minimere

Når en funksjon \(f\) modellerer noe, har vi to tilfeller:

• Hvis vi ønsker å gjøre noe størst mulig, sier vi at vi ønsker å maksimere \(f\).

• Hvis vi ønsker å gjøre noe minst mulig, sier vi at vi ønsker å minimere \(f\).

For å maksimere eller minimere en funksjon, finner vi ekstremalpunktene til \(f\). Da får vi bruk for følgende setning:

Begreper: Ekstremalpunkter og ekstremalverdier

Vi har tidligere jobbet med at ekstremalpunkter er en fellesbetegnelse for toppunkt eller bunnpunkt. I praksis er dette en halv sannhet fordi ekstremalpunkter beskriver \(x\)-koordinaten til disse punktene. Navnet på \(y\)-koordinaten til disse punktene kalles for ekstremalverdier.

Setning: Ekstremalpunkter

Ekstremalpunkter er \(x\)-koordinaten til et toppunkt eller bunnpunkt til en funksjon \(f\).

Versjon 1:

Ekstremalpunktene til \(f\) svarer til nullpunktene til den deriverte \(f'\).

Versjon 2:

Ekstremalpunktene til \(f\) er gitt ved løsningen til \(f'(x) = 0\).

Setningen forteller oss at når vi ønsker å maksimere eller minimere en funksjon, kan vi gjøre dette ved å lete etter nullpunktene til den deriverte.

Eksempel 1

En polynomfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 1. \]

Bestem toppunktet og bunnpunktet til funksjonen \(f\).

Løsning

For å bestemme toppunktet og bunnpunktet til \(f\), løser vi likningen \(f'(x) = 0\). Da trenger vi først den deriverte:

\[ f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x + 1)' = 3x^2 + 6x - 9. \]

Deretter løser vi likningen \(f'(x) = 0\):

\[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \liff x^2 + 2x - 3 = 0. \]

Vi bruker \(abc\)-formelen for å finne røttene til andregradspolynomet:

\[\begin{split} x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot (-3) \cdot 1}}{2\cdot 1} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{-2 \pm 4}{2} = \begin{cases} 1 \\ -3 \end{cases} \end{split}\]

Dermed har \(f'(x)\) røttene \(x = 1\) og \(x = -3\). For å avgjøre hvilket punkt som gir et toppunkt og hvilket som gir et bunnpunkt kan vi bruke en fortegnslinje for \(f'(x)\):

Fig. 18.1 viser fortegnsskjema til \(f'(x)\). Vi kan lese av at \(f'(x)\) er positiv rett før \(x = -3\) og negativ rett etter, som betyr at grafen til \(f\) stiger rett før punktet og synker rett etter. Det betyr at punktet er et toppunkt. Tilsvarende er \(f'(x)\) negativ rett før \(x = 1\) og positiv rett etter, som betyr at grafen til \(f\) synker rett før punktet og stiger rett etter. Det betyr at punktet er et bunnpunkt.

Fra fortegnsskjemaet kan vi altså konkludere at \(x = -3\) gir et toppunkt og \(x = 1\) gir et bunnpunkt. Koordinatene til de to punktene blir:

\[\begin{align*} f(-3) & = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 1 = -27 + 27 + 27 + 1 = 28 \\ \\ f(1) & = 1^3 + 3\cdot 1^2 - 9\cdot 1 + 1 = 1 + 3 - 9 + 1 = -4. \end{align*}\]

så toppunktet er i \((-3, 28)\) og bunnpunktet er i \((1, -4)\).

---

Vi tar et eksempel med en mer praktisk betydning:

Eksempel 2

Et rektangel har sidelengder \(x\) og \(y\). Til sammen er omkretsen av rektangelet \(100\).

Bestem sidelengdene slik at arealet av rektangelet er størst mulig.

Fig. 18.2 viser et rektangel med sidelenger \(x\) og \(y\). Omkretsen av rektangelet er \(100\).

Løsning

Vi ønsker å bestemme sidelengdene slik at arealet til rektangelet blir størst mulig. Vi må derfor finne en formel for arealet til rektangelet.

Først kan vi merke oss at omkretsen av rektangelet er \(100\) som betyr at

\[ x + y + x + y = 100 \liff 2x + 2y = 100 \liff x + y = 50 \]

Videre er arealet av et rektangel sidelengdene ganget sammen som betyr at arealet \(A\) er

\[ A = x\cdot y. \]

Men her har vi to variabler, men vi vet også at

\[ x + y = 50 \liff y = 50 - x. \]

Erstatter vi \(y\) i formelen for arealet med denne likningen, får vi

\[ A(x) = x\cdot(50 - x) = -x^2 + 50x. \]

Dette er en andregradsfunksjon. For å bestemme når arealet er størst mulig kan vi enten finne symmetrilinja, eller vi kan løse \(A'(x) = 0\). Den sistnevnte metoden er mer generell, så vi velger denne her for å illustrere den generelle strategien:

\[ A'(x) = 0 \liff -2x + 50 = 0 \liff x = 25. \]

Altså er arealet størst når

\[ x = 25 \and y = 50 - 25 = 25. \]

Altså blir arealet størst mulig dersom rektangelet er et kvadrat.

Merk at vi også kunne fått dette ved å bestemme symmetrilinja som vi gjør via nullpunktene \(x = 0\) og \(x = 50\) som gir symmetrilinja

\[ x = \dfrac{0 + 50}{2} = 25. \]

---

Vi tar med et annet “praktisk” eksempel der variabelen vi jobber med ikke lenger har merkelappen \(x\). Strategien er fortsatt den samme, men det kan være litt uvant å måtte forholde seg til en funksjon som ikke har \(x\) som variabel, slik som i eksempelet under.

Eksempel 3

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -x^2 + 9, \quad x \in [0, 3]. \]

Et rektangel har hjørnene \((0, 0)\), \((a, 0)\), \((a, f(a))\) og \((0, f(a))\).

Bestem \(a\) slik at arealet av rektangelet blir størst mulig.

Fig. 18.3 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Løsning

Vi må starte med å finne en formel for arealet til rektangelet.

Sidelengdene til rektangelet er \(a\) og \(f(a)\) som betyr at arealet er

\[ A(a) = a\cdot f(a) = a\cdot(-a^2 + 9) = -a^3 + 9a. \]

For å finne når arealet er størst mulig, må vi finne nullpunktene til \(A'(a)\). Dette gir

\[ A'(a) = -3a^2 + 9 = 0 \liff 3a^2 = 9 \liff a^2 = 3 \limplies a = \sqrt{3}. \]

Altså blir arealet av rektangelet størst mulig når \(a = \sqrt{3}\).

Vi forkastet \(a = -\sqrt{3}\) i løsningen over på grunn av avgrensingen \(a \in [0, 3]\).