23. Eksponentialfunksjoner

Læringsmål

• Kunne veksle mellom prosentvis endring og vekstfaktor.

• Kunne sette opp og tolke eksponentialfunksjoner i praktiske situasjoner.

• Kunne lage matematiske modeller ved bruk av regresjon.

• Kunne skrive enkle programmer som bruker prosentvis endring og eksponentiell vekst.

Eksponentialfunksjoner er en type funksjon som brukes til å beskrive prosesser der noe vokser eller minker med en fast prosentvis endring. Funksjonen dukker opp i mange sammenhenger i naturvitenskap, økonomi, samfunnsvitenskap og teknologi.

For at vi skal kunne forstå eksponentialfunksjoner, er det viktig at vi har en god forståelse av prosentregning og vekstfaktor først.

Prosent

Når vi jobber med prosentregning, kan vi representere en prosent på tre ulike måter:

Prosent

Tre ulike måter å representere en prosent på:

\[ \underbrace{\dfrac{30}{100}}_{\text{brøk}} = \underbrace{0.3}_{\text{desimaltall}} = \underbrace{30 \%}_{\text{prosent}} \]

Vi kan dermed tolke at prosenttegnet betyr \(\% = \dfrac{1}{100} = 0.01\).

Quiz 1

Ta quizen! Flere svaralternativer kan være riktig.

---

Vekstfaktor

Når en størrelse øker eller minker med en viss prosent, vil forholdet mellom den nye verdien \(N\) og den gamle verdien \(G\) være noe vi kaller for vekstfaktoren \(V\) til endringen. Vi skriver

\[ V = \dfrac{N}{G} \liff N = G \cdot V. \]

Det kan da være naturlig å lure på om vi kan finne en generell beskrivelse av vekstfaktoren \(V\) dersom vi vet hvor mange prosent \(p\) en størrelse øker eller minker med. Vi vet at verdien før endringen \(G\) skal endres med en prosent \(p\), så vi kan derfor skrive at verdien etter endringen er

\[ N = G + \underbrace{p \cdot G}_{\text{prosentvis endring}} = G \cdot (1 + p) \]

Sammenlikner vi de to likningene over, kan vi konkludere at vekstfaktoren generelt sett kan uttrykkes som

\[ V = 1 + p. \]

Vekstfaktor

Vekstfaktoren \(V\) når en verdi endres med en viss prosent \(p\) er gitt ved

\[ V = 1 + p \]

der \(p\) er den prosentvise endringen.

• \(p > 0\) brukes for økning. Da er \(V > 1\).

• \(p < 0\) brukes for nedgang. Da er \(0 < V < 1\).

---

Prøv deg på Underveisoppgave 1 før du går videre!

Underveisoppgave 1

a

Bestem vekstfaktoren \(V\) ved en økning på \(30 \%\).

Løsning

Siden det er en økning på \(30 \%\), setter vi \(p = 30 \% = 0.3\). Vekstfaktoren er dermed

\[ V = 1 + p = 1 + 0.3 = 1.3. \]

b

Bestem vekstfaktoren ved en nedgang på \(12 \%\).

Løsning

Siden det er en nedgang på \(12 \%\), setter vi \(p = -12 \% = -0.12\). Vekstfaktoren er dermed

\[ V = 1 + p = 1 - 0.12 = 0.88. \]

---

Quiz 2

Ta quizen!

---

Prøv deg på Underveisoppgave 2 der du skal bruke vekstfaktor for å regne ut verdien etter prosentvise endringer!

Underveisoppgave 2

En vare koster \(120 \, \text{kr}\). Varen øker først med \(20 \%\) og deretter synker den med \(10 \%\).

a

Bestem prisen på varen etter den har økt med \(20 \%\).

Løsning

Verdien før endringen er \(G = 120 \ \text{kr}\). Varen øker med en prosent \(p = 20 \%\) så vi kan regne ut vekstfaktoren som

\[ V = 1 + p = 1 + 20 \% = 1 + 0.2 = 1.2. \]

Prisen etter økningen er dermed

\[ N_1 = G \cdot V = 120 \ \text{kr} \cdot 1.2 = 144 \ \text{kr}. \]

b

Bestem verdien til varen etter den har sunket med \(10 \%\).

Løsning

Verdien til varen er nå \(N_1 = 144 \ \text{kr}\). Varen synker med en prosent \(p = -10 \%\) så vi kan regne ut vekstfaktoren som

\[ V = 1 + p = 1 - 10 \% = 1 - 0.1 = 0.9. \]

Prisen etter nedgangen er dermed

\[ N_2 = N_1 \cdot V = 144 \ \text{kr} \cdot 0.9 = 129.6 \ \text{kr}. \]

Eksponentialfunksjoner

Vi tenker oss at en størrelse \(a\) endres med en fast prosent \(p\) gjentatte ganger. Vekstfaktoren blir da \(V = 1 + p\) og er den samme for hver endring. Vi tenker oss at \(N_0 = G\) er verdien før noen prosentvis endring har funnet sted. Verdien etter én endring \(N_1\) blir da

\[ N_1 = N_0 \cdot V = G \cdot V \]

Etter to endringer blir verdien \(N_2\)

\[ N_2 = N_1 \cdot V = \underbrace{G \cdot V}_{=N_1} \cdot V = G \cdot V^2. \]

Vi tar med verdien etter tre endringer \(N_3\) også:

\[ N_3 = N_2 \cdot V = \underbrace{G \cdot V^2}_{=N_2} \cdot V = G \cdot V^3. \]

Fra regningen over, er det tydelig at vi kan generalisere mønsteret til at verdien etter \(x\) endringer er

\[ N(x) = G \cdot V^x \]

der startverdien er \(N(0) = G\) og \(V\) er vekstfaktoren for den faste prosentvise endringen. Utregningene over motiverer en generell definisjon av det vi kaller for en eksponentialfunksjon:

Eksponentialfunksjoner

En eksponentialfunksjon \(f\) er en funksjon på formen

der \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) og \(b \in \langle 0, \to\rangle\) er konstanter.

Fig. 23.1 viser den grafiske representasjonen av eksponentialfunksjoner for ulike verdier av \(b\). Grafen skjærer \(y\)-aksen i \(y = a\).

Du merket kanskje at vi byttet ut \(G\) med \(a\) og \(V\) med \(b\) i den generelle definisjonen av eksponentialfunksjoner. Det er ikke noe spesiell grunn til dette annet at det er vanligere å bruke \(a\) og \(b\) for konstantene.

Eksempel 1

Nedenfor vises to eksempler på eksponentialfunksjoner.

Funksjon 1

\[ f(x) = 1 \cdot 2^x \]

Fig. 23.2 viser grafen til \(f(x) = 1 \cdot 2^x\). Vi kan se at \(f(x)\) dobler seg for hver verdi av \(x \in \mathbb{N}\) og at grafen skjærer \(y\)-aksen i \(y = 1\).

Funksjon 2

\[ f(x) = 100 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^x \]

Fig. 23.3 viser grafen til \(f(x) = 100 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\). Vi kan se at \(f(x)\) halveres for hver verdi av \(x \in \mathbb{N}\) og at grafen skjærer \(y\)-aksen i \(y = 100\).

---

Eksponentielle modeller

Som vi beskrev innledningsvis, så er eksponentialfunksjoner egnet for å beskrive en del prosesser der noe vokser eller minker med en fast prosentvis endring. Her skal vi se på et par eksempler der vi bruker en eksponentialfunksjon som en modell for en praktisk situasjon. Når vi bruker en eksponentialfunksjon som en modell for en praktisk situasjon, kaller vi modellen for en eksponentiell modell.

Vi starter med et eksempel der vi kan sette opp en eksponentiell modell direkte fra informasjonen som er oppgitt.

Eksempel 2

En bakteriekultur består av \(100\) bakterier. Hver time øker antallet bakterier med \(80 \%\) per time.

Her velger du selv om du vil se på løsning med CAS i Geogebra eller Python.

Geogebra

a

Lag en modell \(f\) som gir \(f(x)\) bakterier etter \(x\) timer.

Fasit

\[ f(x) = 100 \cdot 1.8^x \]

Løsning

Siden antall bakterier øker med en fast prosent \(80 \%\) per time, vil vekstfaktoren i modellen være

\[ b = 1 + 80 \% = 1 + 0.8 = 1.8. \]

Bakteriekulturen består opprinnelig av \(100\) bakterier, som betyr at \(f(0) = a = 100\). Dermed får vi modellen

\[ f(x) = 100 \cdot 1.8^x. \]

b

Bestem hvor mange timer det tar før det er \(1000\) bakterier i bakteriekulturen.

Løsning

For å bestemme hvor lang tid det tar før det er \(1000\) bakterier i bakteriekulturen, kan vi løse likningen

\[ f(x) = 1000. \]

Vi bruker CAS til dette:

Fra løsningen med CAS finner vi at \(x \approx 3.92\) som betyr at det tar ca. 4 timer før det er 1000 bakterier i bakteriekulturen.

Python

a

Lag en modell \(f\) som gir \(f(x)\) bakterier etter \(x\) timer.

Fasit

\[ f(x) = 100 \cdot 1.8^x \]

Løsning

Siden antall bakterier øker med en fast prosent \(80 \%\) per time, vil vekstfaktoren i modellen være

\[ b = 1 + 80 \% = 1 + 0.8 = 1.8. \]

Bakteriekulturen består opprinnelig av \(100\) bakterier, som betyr at \(f(0) = a = 100\). Dermed får vi modellen

\[ f(x) = 100 \cdot 1.8^x. \]

b

Bestem hvor mange timer det tar før det er \(1000\) bakterier i bakteriekulturen.

Løsning

For å bestemme hvor lang tid det tar før det er \(1000\) bakterier i bakteriekulturen, kan vi løse likningen

\[ f(x) = 1000. \]

Vi bruker CAS til dette:

Kjører vi programmet (gjør det!), finner vi at utskriften blir

x = 3.917

som betyr at det tar ca. \(4\) timer før det er \(1000\) bakterier i bakteriekulturen.

---

Vi tar et eksempel der vi bruker regresjon til å bestemme en eksponentiell modell.

Eksempel 3

En pasient får en medisin. I tabellen nedenfor vises konsentrasjonen av medisinen i \(\mathrm{mg}/\mathrm{mL}\) i blodet til pasienten ved ulike tidspunkter etter at pasienten fikk medisinen.

Tid (minutter)	\(0\)	\(5\)	\(10\)	\(15\)	\(20\)	\(25\)	\(30\)
Konsentrasjon (\(\mathrm{mg}/\mathrm{mL}\))	\(3.00\)	\(2.70\)	\(2.43\)	\(2.19\)	\(1.97\)	\(1.77\)	\(1.59\)

1. Bestem en modell \(K\) som gir konsentrasjonen \(K(x)\) i \(\mathrm{mg}/\mathrm{mL}\) i blodet til pasienten etter \(x\) minutter.

2. Bruk modellen til å bestemme når pasienten har mindre enn \(1 \, \mathrm{mg}/\mathrm{mL}\) medisin i blodet.

Løsning

Geogebra

I CAS-vinduet nedenfor, gjør vi følgende:

1. Vi definerer en liste med datapunktene i en liste med navn data.

2. Vi bruker Reg-kommandoen i CAS for å lage eksponentialfunksjon.

3. Skriver ut funksjonsuttrykket ved å skrive “\(K(x)\)”.

4. Vi løser likningen \(K(x) = 1\) for å finne hvor mange minutter det tar før pasienten har mindre enn \(1.5 \, \mathrm{mg}/\mathrm{mL}\) medisin i blodet.

Fra CAS-vinduet kan vi se at det tar ca. 52 minutter før pasienten har mindre enn \(1 \, \mathrm{mg}/\mathrm{mL}\) medisin i blodet.

Python

Vi lager modellen med regresjon i Python og løser likningen \(K(x) = 1\) for å finne hvor mange minutter det tar før pasienten har mindre enn \(1 \, \mathrm{mg}/\mathrm{mL}\) medisin i blodet.

Kjører vi programmet (gjør det!) så finner vi at

1. \(K(x) = 3.001 \cdot 0.979^x\).

2. \(x = 51.779\) som betyr at det tar omtrent 52 minutter før konsentrasjonen er mindre enn \(1 \, \mathrm{mg}/\mathrm{mL}\).