Oppgaver: Eksponentialfunksjoner

Oppgaver: Eksponentialfunksjoner#

Oppgave 1

Ta quizen! Flere svaralternativer kan være riktig.

Oppgave 2

Ta quizen!

Oppgave 3

Bestem vekstfaktoren til en økning på \(40 \%\).

Fasit

\[ V = 1.4 \]

Bestem vekstfaktoren til en nedgang på \(15 \%\).

Fasit

\[ V = 0.85 \]

Bestem vekstfaktoren til en økning på \(18 \%\).

Fasit

\[ V = 1.18 \]

Bestem vekstfaktoren til en nedgang på \(12 \%\).

Fasit

\[ V = 0.88 \]

Oppgave 4

Bestem den prosentvise endringen for hver vekstfaktor.

\[ V = 1.22 \]

Fasit

\[ p = 22 \% \]
\[ V = 0.93 \]

Fasit

\[ p = -7 \% \]
\[ V = 0.4 \]

Fasit

\[ p = -60 \% \]
\[ V = 1.45 \]

Fasit

\[ p = 45 \% \]

Oppgave 5

En eksponentialfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2 \cdot 3^x. \]

Bestem \(f(0)\).

Fasit

\[ f(0) = 2. \]

Bestem \(f(4)\).

Fasit

\[ f(4) = 162. \]

Bruk CAS til å løse likningen

\[ f(x) = 1000. \]

Nedenfor vises et CAS-vindu som løser likningen \(f(x) = 50\). Gjør nødvendige endringer og løs likningen din.

Fasit

CAS-vindu med løsning:


Løsning:

\[ f(x) = 1000 \liff x \approx 5.66. \]

Nedenfor vises et eksempel på løsningen til likningen \(f(x) = 50\) i Python. Endre på programmet slik at det løser riktig likning.

Fasit

Programkode:

1from casify import *
2
3f = funksjon("2 * 3 ** x")
4
5løsning = nløs("f(x) = 1000")
6
7print(løsning)

Utskrift:

x = 5.657

Løsning:

Løsningen er \(x \approx 5.657\).

Oppgave 6

Anna kjøper en bil og anslår at verdien til bilen de neste årene kan beskrives av funksjonen

\[ f(x) = 200000 \cdot 0.85^x. \]

der \(f(x)\) kr er verdien til bilen \(x\) år etter hun kjøpte den.

Hvor mye er bilen til Anna verdt nå?

Fasit

\[ f(0) = 200000. \]

Bilen til Anna er verdt \(200000\) kr nå.

Hvor mye anslår Anna at bilens verdi vil synke med per år?

Fasit

Bilens verdi vil synke med \(15 \%\) per år.

Regn ut verdien til bilen etter \(5\) år.


Fasit

CAS-vindu med løsning:


Svar:

Bilen koster ca. \(88741\) kr etter \(5\) år.



Fasit

Programkode:

1from casify import *
2
3f = funksjon("200_000 * 0.85 ** x")
4
5verdi = f(5)
6print(verdi)

Utskrift:

88741.0625000000

Svar:

Bilen koster ca. \(88741\) kr etter \(5\) år.

Bestem hvor mange år det tar før verdien til bilen er halvert.


Fasit

CAS-vindu med løsning:


Svar:

Det tar litt over \(4\) år før verdien til bilen er halvert.


Fasit

Programkode:

1from casify import *
2
3f = funksjon("200_000 * 0.85 ** x")
4
5løsning = nløs("f(x) = 100_000")
6
7print(løsning)

Utskrift:

x = 4.265

Svar:

Det tar litt over \(4\) år før verdien til bilen er halvert.

Oppgave 7

Du setter inn \(1000 \, \text{kr}\) på en bankkonto som gir en rente på \(3 \%\) per år.

Lag en modell \(f\) for sparebeløpet \(f(x)\) kr etter \(x\) år.

Fasit

\[ f(x) = 1000 \cdot 1.03^x. \]

Bestem hvor lang tid det tar før sparebeløpet er dobbelt så stort som det opprinnelige beløpet.


Fasit

CAS-vindu med løsning


Det tar ca. 24 år før sparebeløpet er dobbelt så stort som det opprinnelige beløpet.



Fasit

Programkode:

1from casify import *
2
3f = funksjon("1000 * 1.03 ** x")
4
5løsning = nløs("f(x) = 2000")
6
7print(løsning)

Utskrift:

x = 23.45

Det tar ca. 24 år før sparebeløpet er dobbelt så stort som det opprinnelige beløpet.

Nedenfor vises et program som skal regne ut sparebeløpet etter \(10\) år ved å bruke følgende algoritme:

  1. Sett sparebeløp = 1000.

  2. Øk sparebeløp med renten hvert år så lenge antall år er mindre enn \(10\).

Skriv ferdig programmet og bruk det til å regne ut sparebeløpet etter \(10\) år.

Nå skal du sette inn \(1000 \, \mathrm{kr}\) hvert år på kontoen. For å regne ut sparebeløpet ditt hvert år, kan du bruke følgende strategi:

  1. Legg til renten først,

  2. Legg til innskuddet.

Gjenta dette hvert år.

Fullfør programmet nedenfor og bruk det til å bestemme hvor mange år det tar å spare opp \(100 000 \, \mathrm{kr}\).

Oppgave 8

Kristin jobber som biolog og studerer veksten av en bakteriekultur i et laboratorium. Hun har målt antall bakterier ved forskjellige tidspunkter og mener antallet bakterier følger en eksponentiell vekst. Hun har samlet inn dataen i tabellen nedenfor.

Tid (timer)

Antall bakterier

0

100

1

150

2

225

3

337

4

506

Bruk opplysningene i tabellen ovenfor til å lage en eksponentiell modell \(f\) som gir \(f(x)\) bakterier etter \(x\) timer.

Fasit

Svar:

\[ f(x) = 100.01 \cdot 1.5^x \]

CAS-vindu med løsning:

Du kan fint bare bruke Reg-kommandoen, men da er det ikke like lett å få lest av hva vekstfaktoren er. Du kan jo prøve å se hva som skjer!

Svar:

\[ f(x) = 99.965 \cdot 1.5^x \]

Programkode:

 1from casify import *
 2
 3xdata = [0, 1, 2, 3, 4]
 4ydata = [100, 150, 225, 337, 506] 
 5modell = "a * b ** x" 
 6
 7f = reg(
 8    modell=modell,
 9    xdata=xdata,
10    ydata=ydata,
11)
12
13print(f) # Skriv ut funksjonsuttrykket

Utskrift:

          x
99.965*1.5

Bruk modellen til å anslå hvor mange bakterier det er etter \(24\) timer.

Fasit

Svar: 1 673 625 bakterier.

CAS-vindu med løsning:

Svar:

1 682 822 bakterier.

Programkode: Vi må utvide programmet fra oppgave a med følgende linje:

print(f(24)) # antall bakterier etter 24 timer

Utskrift:

1682822.02567596

Bruk modellen til å anslå hvor lang tid det tar før det er 10 millioner bakterier i kulturen.

Fasit

Svar:

Litt over 28 timer.

CAS-vindu med løsning:

Svar:

Litt over 28 timer.

Programkode: Vi utvider det forrige programmet fra a og b med disse kodelinjene:

løsning = nløs("f(x) = 10_000_000")

print(løsning)

Utskrift:

x = 28.395

I denne oppgaven trenger du digitale hjelpemidler for å løse oppgaven. Velg mellom Geogebra eller Python.