Oppgaver: Potensfunksjoner

Oppgave 1

a

Bruk potensreglene til å skrive svaret som en potens med grunntall \(2\).

\[ 2^3 \cdot 2^4 \]

b

Bruk potensreglene til å skrive svaret som en potens av grunntall \(2\).

\[ \dfrac{2^2}{2^{-2}} \]

c

Bruk potensreglene til å skrive svaret som en potens med grunntall \(2\).

\[ (2^3)^4 \cdot 2^{-2} \]

d

Bruk potensreglene til å skrive svaret som en potens med grunntall \(3\).

\[ \dfrac{3^2 \cdot 3^{-4} }{9^{-2}} \]

---

Oppgave 2

Ta quizen!

---

Oppgave 3

a

I Fig. 25.1 vises grafene til funksjoner gitt ved

\[ f(x) = x^2 \quad\quad g(x) = \sqrt{x} \quad\quad h(x) = \dfrac{1}{x} \]

Koble sammen riktig funksjon med riktig graf.

Fig. 25.1 viser grafene til tre funksjoner.

Fasit

• Graf A tilhører \(f\).

• Graf B tilhører \(h\).

• Graf C tilhører \(g\).

b

I Fig. 25.2 vises grafene til tre funksjoner gitt ved

\[ f(x) = x^{-1} \quad\quad g(x) = \dfrac{2}{x} \quad\quad h(x) = \dfrac{4}{x^2} \]

Koble sammen riktig funksjon med riktig graf.

Fig. 25.2 viser grafene til tre funksjoner.

Fasit

• Graf A tilhører \(h\).

• Graf B tilhører \(f\).

• Graf C tilhører \(g\).

c

I Fig. 25.3 vises grafene til tre funksjoner gitt ved

\[ f(x) = x^{1/3} \quad\quad g(x) = 2 x^{1/2} \quad\quad h(x) = 2 x^{2/3} \]

Koble sammen riktig funksjon med riktig graf.

Fig. 25.3 viser grafene til tre funksjoner.

Fasit

• Graf A tilhører \(f\).

• Graf B tilhører \(h\).

• Graf C tilhører \(g\).

---

Oppgave 4

Adam har arvet \(100 \, 000\) kr.

a

Hvis Adam setter pengene i banken og får en rente på \(3 \%\) per år, hvor mye penger har han etter \(10\) år?

Fasit

\[ 100 \, 000 \cdot 1.03^{10} \approx 134 \, 392 \text{ kr} \]

b

Adam tenker å investere pengene i 10 år og vil undersøke hvor penger han kan få avhengig av renten.

Lag en modell \(f\) som viser sammenhengen mellom \(f(x)\) kr som Adam vil ha om 10 år og vekstfaktoren \(x\).

Fasit

\[ f(x) = 100 \, 000 \cdot x^{10} \]

c

Hvor mye penger vil Adam ha etter \(10\) år dersom renten er \(5 \%\) per år?

Fasit

\[ f(1.05) = 100 \, 000 \cdot 1.05^{10} \approx 162 \, 889 \text{ kr} \]

d

Hva må renta være for at Adam skal ha \(200 000\) kr etter \(10\) år?

Du kan bruke Geogebra eller Python nedenfor som hjelpemiddel.

Geogebra

Fasit

Vi kan løse likningen

\[ f(x) = 200 \, 000 \]

eller vi kan gå direkte på å bestemme renten \(r\) ved å løse likningen

\[ 100 \, 000 \cdot (1 + r)^{10} = 200 \, 000 \]

Vi bruker den siste strategien med CAS som vi kan få til med:

som betyr at renten må være omtrent \(r = 0.07 = 7 \%\) for at Adam skal ha \(200 \, 000\) kr etter \(10\) år.

Python

Fasit

Vi kan løse likningen

\[ f(x) = 200 \, 000 \]

eller vi kan gå direkte på å bestemme renten \(r\) ved å løse likningen

\[ 100 \, 000 \cdot (1 + r)^{10} = 200 \, 000 \]

Vi bruker den siste strategien med CAS som vi kan få til med koden:

from casify import *

likning = nløs("100_000 * (1 + rente)**10 = 200_000")

print(likning)

som gir utskriften

rente = -2.072 ∨ rente = 0.072

Vi finner altså at renten må være \(r = 0.072 = 7.2 \%\) for at Adam skal ha \(200 \, 000\) kr etter \(10\) år.

---

Oppgave 5

Perioden til en planet er tiden det tar for en planet å gjennomføre et fullt omløp i banen sin rundt solen.

Nedenfor vises en tabell over periodene til noen av planetene i solsystemet og deres avstand til solen. Avstandene er gitt i astronomiske enheter (AU) som er avstanden fra solen til jorden.

Planet	Avstand (AU)	Periode (år)
Merkur	0.39	0.24
Venus	0.72	0.62
Mars	1.52	1.88
Jupiter	5.20	11.86
Saturn	9.58	29.46

a

Lag en modell \(P\) som gir perioden til en planet i \(P(x)\) år når avstanden til solen er \(x\) AU på formen

\[ P(x) = a \cdot x^b. \]

Fasit

\[ P(x) \approx 1 \cdot x^{1.5} \]

Geogebra

Bruker RegPot for å lage en potensfunksjon med regresjon:

Python

from casify import *

xdata = [0.39, 0.72, 1.52, 5.2, 9.58]
ydata = [0.24, 0.62, 1.88, 11.86, 29.46]
modell = "a * x ** b"

# Utfører regresjon
P = reg(
    modell=modell,
    xdata=xdata,
    ydata=ydata,
)

print(P)

       1.49
1.015*x  

som gir:

\[ P(x) = 1.015 \cdot x^{1.49} \]

b

Regn ut perioden til en planet som er \(1\) AU fra solen.

Er svaret rimelig?

Fasit

Geogebra

Vi regner ut \(P(1)\) med modellen vi bestemte i a:

som gir en periode på \(P(1) \approx 1\) år som stemmer godt overens med at dette er perioden til jorda.

Python

Vi utvider programmet fra a med følgende kodelinje:

print(P(1)) # Periode til planet 1 AU unna sola (aka jorda)

som gir utskriften

1.01500000000000

Som betyr at \(P(1) \approx 1.015\) år som stemmer godt overens med jordens periode er \(1\) år.

c

Uranus har en periode på \(84.01\) år.

Bruk modellen din til å anslå avstanden til Uranus og sammenlign med den virkelige avstanden på \(19.22\) AU.

Fasit

Vi må løse likningen \(P(x) = 84.01\) for \(x\) for å bestemme perioden til Uranus.

Geogebra

Vi utvider CAS-vinduet med å løse likningen

Ut ifra modellen vår er avstanden til Uranus \(x \approx 19.2\) AU. I virkeligheten er den \(19.22\) AU, så modellen gir en god tilnærming.

Python

Vi utvider programmet fra a og b for å løse likningen \(P(x) = 84.01\):

avstand_uranus = nløs("P(x) = 84.01")
print(avstand_uranus)

som gir utskriften

x = 19.371

som betyr at avstanden ifølge modellen vår er \(x \approx 19.37\) AU som stemmer godt overens med den virkelige avstanden på \(19.22\) AU.

Du kan bruke Geogebra eller Python nedenfor for å løse oppgavene.

Geogebra

Python

Oppgave 6

Kokepunktet til vann varierer med lufttrykket. Lufttrykket på sin side varierer med høyden over havet. I tabellen nedenfor vises kokepunktet til vann ved ulike høyder over havet.

Lufttrykk (hPa)	Kokepunkt (°C)
1000	100
800	92.3
600	84.9
500	81.4
100	48.9

a

Bestem en modell \(f\) på formen

\[ f(x) = a \cdot x^b \]

som gir kokepunktet til vann i \(f(x)\) \(^\circ \mathrm{C}\) ved et lufttrykk på \(x\) hPa.

Fasit

Vi bruker regresjon til å bestemme \(f(x)\).

Geogebra

Python

from casify import *

xdata = [1000, 800, 600, 500, 100] # lufttrykk
ydata = [100, 92.3, 84.9, 81.4, 48.9] # kokepunkt
modell = "a * x ** b"


f = reg(
    modell=modell,
    xdata=xdata,
    ydata=ydata,
)


print(f) # Skriver ut f(x)

som gir utskriften

        0.308
11.904*x     

som betyr at

\[ f(x) = 11.904 \cdot x^{0.308} \]

b

Lufttrykket synker med ca. \(12 \%\) per km i høyden.

Bestem en modell \(g\) som gir lufttrykket \(g(x)\) hPa ved en høyde på \(x\) km over havnivået.

Fasit

\[ g(x) = 1000 \cdot 0.88^x \]

c

Bestem hvor langt over bakken lufttrykket er \(300\) hPa.

Fasit

Vi må løse likningen \(g(x) = 300\) for å bestemme hvor langt over bakken lufttrykket er \(300\) hPa.

Geogebra

Python

Vi utvider programmet fra a med kodelinjene:

g = funksjon("1000 * 0.88 ** x")
høyde = nløs("g(x) = 300")

print(høyde)

som gir utskriften:

x = 9.418

som betyr at lufttrykket er \(300\) hPa ca. \(9.42\) km over bakken.

d

Bestem hvor langt over bakken kokepunktet til vann er \(30 \, ^\circ \mathrm{C}\).

Fasit

Vi løser dette problemet i to steg:

1. Vi finner ved hvilket trykk kokepunktet er \(30 \, ^\circ \mathrm{C}\) med \(f(x)\). Dette ved å løse likningen \(f(x) = 30\).

2. Vi finner hvor langt over bakken dette trykket er med \(g(x)\). Dette ved å løse likningen \(g(x) = \text{trykket fra steg 1}\).

Geogebra

1. Vi løser først likning \(f(x) = 30\) med CAS-vinduet som forteller oss hvor høyt trykket er for at kokepunktet til vann er \(30 \, ^\circ \mathrm{C}\). Dette ga et lufttrykk på \(20.44\) hPa.

2. Deretter løser vi likningen \(g(x) = 20.44\) som forteller oss hvor høyt over bakken dette trykket er. Dette ga en høyde på \(30.43\) km.

Kokepunktet til vann er altså \(30 \, ^\circ \mathrm{C}\) ca. \(30.43\) km over bakken, ifølge modellene.

Python

Først løser vi likningen \(f(x) = 30\) med kodelinjene:

trykk = nløs("f(x) = 30")
print(trykk)

som gir utskriften

x = 20.107

som betyr at kokepunktet til vann er \(30 \, ^\circ \mathrm{C}\) ved et trykk på \(20.107\) hPa. For å bestemme hvilken høyde dette svarer til, løser vi likningen

\[ g(x) = 20.107 \]

som vi kan gjøre med kodelinjene:

høyde = nløs("g(x) = 20.107")
print(høyde)

som gir utskriften

x = 30.561

som betyr at kokepunktet til vann er \(30 \, ^\circ \mathrm{C}\) ca. \(30.56\) km over bakken, ifølge modellene.

Nedenfor kan du bruke Geogebra eller Python som hjelpemiddel.

Geogebra

Python