14. Ekstremalpunktsform

Læringsmål

• Kunne bestemme \(f(x)\) på ekstremalpunktsform og kunne bruke denne til å bestemme grafiske egenskaper ved funksjonen.

• Kunne veksle mellom ekstremalpunktsform og standardform.

• Kunne bestemme ekstremalpunktsformen fra graf.

Standardformen til en andregradsfunksjon ga oss informasjon om funksjonens form, hvor den den skjærer \(y\)-aksen. Vi kunne også bestemme symmetrilinja til grafen ved litt regning.

Nå skal vi se på en annen representasjon som vi kaller for ekstremalpunktsform. Ekstremalpunkt er en fellesbetegnelse på toppunkt og bunnpunkt. Denne representasjonen gir oss informasjon om funksjonens topp- eller bunnpunkt, symmetrilinje og grafens form.

Grafisk og algebraisk representasjon

Når vi så på standardformen \(f(x) = ax^2 + bx + c\), så vi at vi kunne bestemme grafens symmetrilinje ved å bruke formelen

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} \]

Ekstremalpunktsform

Ekstremalpunktsformen til en andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

• Hvis \(a > 0\) er grafen til \(f\) konveks \(\smile\) og har et bunnpunkt.

• Hvis \(a < 0\) er grafen til \(f\) konkav \(\frown\) og har et toppunkt.

• Linja \(x = x_0\) er symmetrilinja til \(f\). Grafen er speilet rundt denne linja!

La oss se på et eksempel der vi ser på den grafiske sammenhengen med det algebraiske uttrykket for ekstremalpunktsformen.

Eksempel 1

Nedenfor vises fire eksempler på grafene til andregradsfunksjoner og deres ekstremalpunktsform.

\[ f(x) = (x - 1)^2 - 4 \]

\[ g(x) = -2(x + 3)^2 + 1 \]

\[ h(x) = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 - 3 \]

\[ p(x) = (x + 1)^2 + 2 \]

---

Utforsk 1

Nedenfor vises et interaktivt vindu der en andregradsfunksjon \(f\) er skrevet på ekstremalpunktsform

\[ f(x) = a (x - x_0)^2 + y_0 \]

Du kan variere verdiene til \(a\), \(x_0\) og \(y_0\) for å se hvordan grafen endrer seg.

Endre på verdiene og lag figurene som er vist i Eksempel 1.

---

Fra standardform til ekstremalpunktsform

Nå skal vi se hvordan vi kan skrive om en andregradsfunksjon fra standardform til ekstremalpunktsform. Diagrammet oppsummerer strategien:

La oss se på et eksempel:

Eksempel 2

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 4x + 3. \]

Bestem \(f(x)\) på ekstremalpunktsform.

Løsning

Ekstremalpunktsformen til \(f(x)\) er gitt ved

\[ f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0, \]

der \(y_0 = f(x_0)\) og \(x_0\) er symmetrilinja til grafen. Vi kan bestemme \(x_0\) med formelen:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} \, , \]

og siden \(a = 1\) og \(b = -4\), så får vi:

\[ x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2. \]

Deretter bestemmer vi \(y_0\) ved å sette \(x = 2\) i funksjonsuttrykket:

\[ y_0 = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. \]

Dermed er ekstremalpunktsformen til \(f(x)\) gitt ved

\[ f(x) = (x - 2)^2 - 1. \]

---

Underveisoppgave 1

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2x^2 - 8x + 6. \]

Bestem \(f(x)\) på ekstremalpunktsform.

Fasit

\[ f(x) = 2(x - 2)^2 - 2. \]

Løsning

Koeffisientene til \(f(x)\) er

\[ a = 2 \and b = -8 \and c = 6. \]

Symmetrilinja er derfor

\[ x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2 \cdot 2} = 2. \]

Deretter bestemmer vi \(y_0\) ved å sette \(x = 2\) i funksjonsuttrykket:

\[ y_0 = f(2) = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2. \]

Dermed er ekstremalpunktsformen til \(f(x)\) gitt ved

\[ f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 = 2(x - 2)^2 - 2. \]

Fra ekstremalpunktsform til standardform

Vi kan også veksle fra ekstremalpunktsform til standardform. Dette gjør vi ved å gange ut parentesen og samle leddene:

Husk: Kvadratsetninger

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

Eksempel 3

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -3(x - 1)^2 + 2 \]

Bestem \(f(x)\) på standardform.

Løsning

Vi ganger ut parentesen før vi samler leddene:

\[\begin{align*} f(x) &= -3(x - 1)^2 + 2 \\ \\ &= -3(x^2 - 2x + 1) + 2 \\ \\ &= -3x^2 + 6x - 3 + 2 \\ \\ &= -3x^2 + 6x - 1. \end{align*}\]

---

Underveisoppgave 2

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2(x + 3)^2 - 5. \]

Bestem \(f(x)\) på standardform.

Fasit

\[ f(x) = 2x^2 + 12x + 13. \]

Løsning

Vi ganger ut parentesen og samler leddene:

\[\begin{align*} f(x) &= 2(x + 3)^2 - 5 \\ \\ &= 2(x^2 + 6x + 9) - 5 \\ \\ &= 2x^2 + 12x + 18 - 5 \\ \\ &= 2x^2 + 12x + 13. \end{align*}\]

Fra graf til \(f(x)\) på ekstremalpunktsform

Vi trenger det ekstra punktet for å bestemme verdien til \(a\) i ekstremalpunktsformen.

Når vi har en graf, kan vi bestemme ekstremalpunktsformen når vi kjenner til ekstremalpunktet og ett punkt til på grafen. La oss se på et eksempel:

Eksempel 4

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist nedenfor.

Bestem \(f(x)\) på ekstremalpunktsform.

Løsning

Vi ser fra grafen at ekstremalpunktet er \((1, -8)\). Det betyr at vi kan skrive \(f(x)\) på ekstremalpunktsform som

\[ f(x) = a(x - 1)^2 - 8. \]

Vi trenger ett punkt til for å bestemme verdien til \(a\). Vi ser at grafen skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, -6)\) som betyr at

\[ f(0) = -6 \liff a(0 - 1)^2 - 8 = -6. \]

som vi forenkler til

\[ a - 8 = -6 \liff a = 2. \]

Dermed er

\[ f(x) = 2(x - 1)^2 - 8. \]

---

Underveisoppgave 3

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist nedenfor.

Bestem \(f(x)\) på ekstremalpunktsform.

Fasit

\[ f(x) = -(x + 1)^2 + 4. \]

Løsning

Vi ser at grafen til \(f\) har et ekstremalpunkt i \((-1, 4)\) som betyr at vi kan skrive \(f(x)\) på ekstremalpunktsform som

\[ f(x) = a(x - (-1))^2 + 4 = a(x + 1)^2 + 4. \]

Vi trenger ett punkt til for å bestemme verdien til \(a\). Vi ser at grafen skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, 3)\) som betyr at

\[ f(0) = 3 \liff a(0 + 1)^2 + 4 = 3. \]

som vi forenkler til

\[ a + 4 = 3 \liff a = -1. \]

Dermed er

\[ f(x) = -(x + 1)^2 + 4. \]

Sammenlikning av standardform og ekstremalpunktsform

Det kan være nyttig å oppsummere forskjellen mellom standardform og ekstremalpunktsform for å belyse hva slags opplysninger de to representasjonene gir oss:

Standardform

---

---

Hva kan vi lese av?

• Grafens form bestemmes av \(a\).

• Forteller oss umiddelbart hvor grafen skjærer \(y\)-aksen.

• Symmetrilinja kan bestemmes med formelen \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\).

Ekstremalpunktsform

---

---

Hva kan vi lese av?

• Grafens form bestemmes av \(a\).

• Forteller oss umiddelbart hvor grafen har et toppunkt eller bunnpunkt.

• Forteller oss umiddelbart hvor grafen har symmetrilinje.