2.1. Tallmengder#
Læringsmål
Kunne beskrive de ulike spesielle tallmengdene.
Kunne beskrive egenskaper ved partall, oddetall, primtall, hele tall, rasjonale tall og irrasjonale tall.
Kunne beskrive delmengder av de reelle tallene med intervaller og ulikheter.
De naturlige tallene \(\natural\)#
De naturlige tallene er de positive heltallene \(1, 2, 3, \ldots\), og så videre. Vi bruker symbolet \(\natural\) for å betegne alle naturlige tall og kaller det for mengden av de naturlige tallene. Vi kan bruke listenotasjon for å beskrive tallmengden på en enkel måte:
De naturlige tallene \(\natural\)
De naturlige tallene er de positive heltallene \(1, 2, 3, \ldots\), og så videre. Vi betegner mengden av de naturlige tallene med symbolet \(\natural\). Vi skriver
Hvis et tall \(n\) er et naturlig tall, skriver vi \(n \in \natural\) som vi leser som “\(n\) er et element i mengden av naturlige tall”.
Blant de naturlige tallene, kan vi dele dem inn i to mindre mengder: Partall og oddetall. Vi skal se på hvordan vi kan beskrive disse to mengdene.
Partall og oddetall#
Partallene kan listes opp som
Men mer formelt kan vi uttrykke partallene med en formel ved hjelp av de naturlige tallene:
Partallene
Partallene er alle tall som kan skrives på formen
Vi kan forstå denne formelen ved å tenke på at de naturlige tallene \(\{1, 2, 3, \ldots\}\) kan ganges med \(2\) for å få alle partallene \(\{2, 4, 6, \ldots\}\).
En ting vi kan bemerke til er at alle partall er delelige med \(2\). Faktisk er det bare partall som er delelige med \(2\) blant de naturlige tallene.
La oss se på hvordan vi kan beskrive oddetallene med en formel:
Oddetallene
Oddetallene er alle tall som kan skrives på formen
Vi kan forstå denne sammenhengen ved at vi tar partallene \(\{2, 4, 6, \ldots\}\) og så trekker vi fra \(1\) som gir oss alle oddetallene \(\{1, 3, 5, \ldots\}\).
Primtall#
De første primtallene er
Men vi har ingen generell formel for primtallene, og kommer kanskje aldri til å oppdage en sammenheng heller. Men vi vet hva som kjennetegner dem:
Primtallene
Et primtall \(p\) er et tall \(p \in \natural \setminus \{1\}\) som kun er delelig med \(1\) og seg selv.
De hele tallene \(\integer\)#
De hele tallene er alle hele tall og inkluderer både de naturlige tallene, alle negative heltall og tallet \(0\).
De hele tallene \(\integer\)
De hele tallene er alle heltall, både positive og negative, inkludert \(0\). Vi skriver
Hvis et tall \(n\) er et heltall, skriver vi \(n \in \integer\).
De rasjonale tallene \(\rasjonal\)#
De rasjonale tallene er en utvidet tallmengde som inkluderer alle heltall, men legger til en ny type tall:
De rasjonale tallene \(\rasjonal\)
De rasjonale tallene er alle tall som kan skrives som en brøk på formen
De rasjonale tallene kan altså skrives som en brøk der telleren og nevneren er hele tall. Eksempler på rasjonale tall er \(\dfrac{1}{2}\) og \(\dfrac{-3}{4}\). Men også alle heltall er rasjonale tall, som for eksempel \(5\) og \(-2\). Dette er fordi vi kan skrive \(5\) som \(\dfrac{5}{1}\) og \(-2\) som \(\dfrac{-2}{1}\).
Et spesielt kjennetegn på de rasjonale tallene er at desimalrepresentasjonen av rasjonale tall enten
har en endelig sifferutvikling
har en uendelig og repeterende sifferutvikling med en fast periode
For eksempel kan vi skrive det rasjonale tallet \(\dfrac{1}{4}\) som desimaltallet \(0.25\), som har en endelig sifferutvikling. Et annet eksempel er \(\dfrac{1}{3}\), som kan skrives som \(0.3333\ldots = 0.\overline{3}\), der sifrene repeterer seg i et fast mønster. Men også tall som
er et rasjonalt tall.