24. Potensfunksjoner

Læringsmål

• Kan noen grunnleggende potensregler og kan veksle mellom potenser og rotuttrykk.

• Kan beskrive egenskapene til potensfunksjoner og bruke dem til å belyse praktiske situasjoner.

Potensfunksjoner brukes for å beskrive en sammenheng der en størrelse \(y\) er proporsjonal eller omvendt proporsjonal med en potens av en annen størrelse \(x\). For å kunne forstå potensfunksjoner, er vi nødt til å ta en nærmere titt på noen regneregler for potenser først.

Potensregler

Potensregler

Nedenfor vises en oversikt over viktig regneregler for potenser.

	Regneregel	Eksempel
1.	\(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)	\(x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5\)
2.	\(\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\)	\(\dfrac{x^5}{x^2} = x^{5-2} = x^3\)
3.	\((x^m)^n = x^{m \cdot n}\)	\((x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6\)
4.	\(x^0 = 1\)	\(1000^0 = 1\)
5.	\(x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}\)	\(x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}\)
6.	\(\sqrt[n]{x} = x^{1 / n}\)	\(\sqrt[3]{x} = x^{1 / 3}\)

---

Eksempel 1

Skriv så enkelt som mulig.

\[ \dfrac{(x^2)^3 \cdot x^{-2}}{x^3} \]

Løsning

\[\begin{align*} \dfrac{(x^2)^3 \cdot x^{-2}}{x^3} &= \dfrac{x^{2 \cdot 3} \cdot x^{-2}}{x^3} = \dfrac{x^6 \cdot x^{-2}}{x^3} \\ \\ &= x^{6-2} \cdot x^{-3} = x^4 \cdot x^{-3} \\ \\ &= x^{4-3} = x^1 = x \\ \end{align*}\]

Potensfunksjoner

Potensfunksjoner

En potensfunksjon \(f\) er en funksjon på formen

\[ f(x) = a \cdot x^b, \]

der \(a, b \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) er konstanter. I Fig. 24.1 vises ulike potensfunksjoner for ulike verdier av \(b\).

Fig. 24.1 viser grafene til potensfunksjoner med samme verdi av \(a\), men ulike verdier av \(b\).

---

Eksempel 2

Nedenfor vises noen eksempler på potensfunksjoner.

Funksjon 1

\[ f(x) = 2 \cdot x^3 \]

Funksjon 2

\[ f(x) = 3 \cdot x^{1/2} = 3 \sqrt{x} \]

Funksjon 3

\[ f(x) = 10 \cdot x^{-2} = \frac{10}{x^2} \]

---

Modellering med potensfunksjoner

Potensfunksjoner er godt egnet for situasjoner der en størrelse er proporsjonal med en potens av en annen størrelse. I neste eksempel skal vi se på en slik situasjon.

Eksempel 3

Perioden til en planet er tiden det tar for en planet å gjennomføre et fullt omløp i banen sin rundt solen.

Nedenfor vises en tabell over periodene til noen av planetene i solsystemet og deres avstand til solen. Avstandene er gitt i astronomiske enheter (AU) som er avstanden fra solen til jorden.

Planet	Avstand (AU)	Periode (år)
Merkur	0.39	0.24
Venus	0.72	0.62
Mars	1.52	1.88
Jupiter	5.20	11.86
Saturn	9.58	29.46

Lag en modell \(P\) som gir perioden til en planet i \(P(x)\) år når avstanden til solen er \(x\) AU på formen

\[ P(x) = a \cdot x^b. \]

Løsning

Geogebra

Python