Oppgaver:
Lineære-over-lineære

Oppgave 1

I den interaktive figuren nedenfor vises grafen til en rasjonal funksjon

\[ f(x) = \dfrac{a(x - b)}{x - c} \]

a

Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at grafen til \(f\) har

1. En horisontal asymptote med likningen \(y = 3\)

2. En vertikal asymptote med likningen \(x = -1\)

3. Et nullpunkt i \(x = 2\).

Fasit

\[ a = 3 \and b = 2 \and c = -1 \]

b

Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at

1. Grafen til \(f\) har en horisontal asymptote med likningen \(y = -2\).

2. Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \(x = -3\).

3. Grafen til \(f\) har en vertikal asymptote med likningen \(x = 4\).

Fasit

\[ a = -2 \and b = -3 \and c = 4 \]

Oppgave 2

Ta quizen!

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist nedenfor.

Hvilket alternativ viser \(f(x)\)?

\[ f(x) = \dfrac{x - 1}{x - 2} \]

\[ f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2} \]

\[ f(x) = \dfrac{-x + 1}{x - 2} \]

\[ f(x) = \dfrac{x - 1}{x + 2} \]

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist nedenfor.

Hvilket alterantiv viser \(f(x)\)?

\[ f(x) = \dfrac{2(x - 3)}{x + 1} \]

\[ f(x) = \dfrac{3(x - 2)}{x + 1} \]

\[ f(x) = \dfrac{x - 3}{x - 2} \]

\[ f(x) = \dfrac{2(x + 1)}{x - 3} \]

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist nedenfor.

Hvilket alternativ viser \(f(x)\)?

\[ f(x) = \dfrac{-3(x + 1)}{x} \]

\[ f(x) = \dfrac{3(x + 1)}{x} \]

\[ f(x) = \dfrac{-3(x - 1)}{x} \]

\[ f(x) = \dfrac{-3(x + 1)}{x - 1} \]

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist nedenfor.

Hvilket alternativ viser \(f(x)\)?

\[ f(x) = \dfrac{2x}{x + 3} \]

\[ f(x) = \dfrac{2(x + 3)}{x} \]

\[ f(x) = \dfrac{2x}{x - 3} \]

\[ f(x) = \dfrac{(x + 3)}{2x} \]

---

Oppgave 2

a

I figuren nedenfor vises grafen til en rasjonal funksjon \(f\).

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = \dfrac{-(x - 1)}{x - 2} \]

b

I figuren nedenfor vises grafen til en rasjonal funksjon \(g\).

Bestem \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = \dfrac{2(x - 1)}{x - 3} \]

c

I figuren nedenfor vises grafen til en rasjonal funksjon \(h\).

Bestem \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = \dfrac{-2(x + 1)}{x - 1} \]

d

I figuren nedenfor vises grafen til en rasjonal funksjon \(p\).

Bestem \(p(x)\).

Fasit

\[ p(x) = \dfrac{x - 3}{x + 2} \]

---

Oppgave 3

Ta quizen!

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Hvilket alternativ viser fortegnslinja til \(f(x)\)?

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) vises i figuren nedenfor.

Hvilket alternativ viser fortegnslinja til \(f(x)\)?

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Hvilket alternativ viser fortegnslinja til \(f(x)\)?

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Hvilket alternativ viser fortegnslinja til \(f(x)\)?

---

Oppgave 3

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{2(x - 3)}{x + 1} \]

a

Bestem nullpunktet til \(f\).

Fasit

\[ x = 3. \]

b

Bestem den vertikale og horisontale asymptoten til \(f\).

Fasit

• Horisontal asymptote: \(y = 2\).

• Vertikal asymptote: \(x = -1\).

c

Tegn en fortegnsskjema for \(f(x)\).

Fasit

d

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Skissen skal inneholde:

• Nullpunktet til \(f\).

• Asymptotene til \(f\).

Fasit

---

Oppgave 4

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{-x + 2}{x - 4} \]

a

Løs likningen \(f(x) = 0\).

Fasit

\[ x = 2. \]

b

Bestem asymptotene til \(f\).

Fasit

• Horisontal asymptote: \(y = -1\).

• Vertikal asymptote: \(x = 4\).

c

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Fasit

d

Løs ulikheten \(f(x) < 0\).

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus [2, 4]. \]

---

Oppgave 5

a

Om en rasjonal funksjon \(f\) får du vite at:

• Grafen til \(f\) har asymptotene \(y = 2\) og \(x = -4\).

• Grafen til \(f\) har et nullpunkt i \(x = 1\).

Bestem et mulig uttrykk for \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = \dfrac{2(x - 1)}{x + 4} \]

b

Om en rasjonal funksjon \(g\) får du vite at:

• Grafen til \(g\) har en vertikal asymptote med likningen \(x = -2\).

• Grafen til \(g\) skjærer \(x\)-aksen i \(x = 2\).

• Grafen til \(g\) skjærer \(y\)-aksen i \(y = 6\).

Bestem et mulig uttrykk for \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = \dfrac{-6(x - 2)}{x + 2} \]

c

Om en rasjonal funksjon \(h\) får du vite at:

• Grafen til \(f\) har en horisontal asymptote med likningen \(y = 4\).

• Grafen til \(h\) skjærer \(x\)-aksen i \(x = -3\).

• Grafen til \(h\) har et bruddpunkt i \(x = 2\).

Bestem et mulig uttrykk for \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = \dfrac{4x + 12}{x - 2} \]

---

Oppgave 6

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{x - 2}{x + 3} \]

a

Bestem nullpunktet og asymptotene til \(f\).

Fasit

• Nullpunkt: \(x = 2\).

• Horisontal asymptote: \(y = 1\).

• Vertikal asymptote: \(x = -3\).

b

Løs ulikheten \(f(x) \geq 0\).

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus [-3, 2\rangle. \]

c

Løs likningen \(f(x) = 2\).

Fasit

\[ x = -8. \]

d

Løs ulikheten \(f(x) \leq 2\).

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \langle -8, -3]. \]

---

Oppgave 7

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{-2x + 4}{x + 1} \]

a

Bestem hvor grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen.

Fasit

\[ x = 2. \]

b

Bestem asymptotene til \(f\).

Fasit

• Horisontal asymptote: \(y = -2\).

• Vertikal asymptote: \(x = -1\).

c

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Fasit

d

Løs ulikheten \(f(x) \geq 0\).

Fasit

\[ x \in \langle -1, 2] \]

---

Oppgave 8

Figuren ovenfor vises grafen til en rasjonal funksjon \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) og tangenten til grafen til \(f\) i punktet \((s, f(s))\).

a

Åpne CAS‑vindu

Bestem likningen for tangenten.

b

Åpne CAS‑vindu

Tangenten skjærer koordinataksene i punktene \(A\) og \(B\).

Bestem koordinatene til \(A\) og \(B\) uttrykt ved \(s\).

c

Åpne CAS‑vindu

Bestem arealet av \(\triangle OAB\)