Vår 2026

Del 1

3 timer uten hjelpemidler

Oppgave 1

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - x - 12. \]

Bestem i hvilke punkter grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen.

Fasit

\((-3, 0)\) og \((4, 0)\).

Løsning

Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i de punktene der \(f(x) = 0\). Vi løser denne likningen med \(abc\)-formelen:

\[ x = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 \pm 7}{2}. \]

som gir

\[ x = -3 \or x = 4. \]

Altså skjærer grafen til \(f\) gjennom \(x\)-aksen i \((-3, 0)\) og \((4, 0)\).

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = 3(x + 5)(x - 1). \]

Bestem koordinatene til bunnpunktet til grafen til \(g\).

Fasit

\((-2, -27)\).

Løsning

Symmetrilinja (som gir \(x\)-koordinaten til bunnpunktet) vil ligge midt mellom nullpunktene. Vi kan lese av at nullpunktene er \(x = -5\) og \(x = 1\). Symmetrilinja er gitt ved gjennomsnittet av de to nullpunktene:

\[ x_0 = \dfrac{-5 + 1}{2} = -2. \]

Vi finner \(y\)-koordinaten ved å regne ut \(g(-2)\):

\[ g(-2) = 3(-2 + 5)(-2 - 1) = 3 \cdot 3 \cdot (-3) = -27. \]

Altså er koordinatene til bunnpunktet \((-2, -27)\).

c

Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at likningen nedenfor er en identitet.

\[ -2x^2 - 8x + 4 = a(x - b)^2 + c \]

Fasit

\[ a = -2 \and b = -2 \and c = 12. \]

Løsning

Uttrykket på høyre side er gitt ved andregradsuttrykket på ekstremalpunktsform der \(a\) er den ledende koeffisienten, \(b\) er symmetrilinja og \(c\) er \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet.

Den ledende koeffisienten er \(a = -2\) siden den ledende koeffisienten på venstre side er \(-2\).

Symmetrilinja finner vi ved

\[ x_0 = \dfrac{-(-8)}{2 \cdot (-2)} = -2. \]

Altså må \(b = -2\).

For å finne \(c\) regner vi ut verdien til uttrykket på venstre side når \(x = -2\):

\[ -2 \cdot (-2)^2 - 8 \cdot (-2) + 4 = -8 + 16 + 4 = 12. \]

Altså har vi at

\[ a = -2 \and b = -2 \and c = 12. \]

---

Oppgave 2

I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Bestem \(f(x)\).

Husk å forklare hvordan du har tenkt.

Fasit

Det er flere korrekte svar. Nedenfor vises de tre mulighetene.

Nullpunktsform:

\(f(x) = -2(x + 3)(x - 1)\).

Ekstremalpunktsform:

\(f(x) = -2(x + 1)^2 + 8\).

Standardform:

\(f(x) = -2x^2 - 4x + 6\).

Løsning

Vi trenger bare å finne \(f(x)\) for én av de tre representasjonene vi har sett på for andregradsfunksjoner: Nullpunktsform, ekstremalpunktsform eller standardform. Nedenfor viser vi alle tre.

Nullpunktsform

Vi kan bestemme \(f(x)\) på nullpunktsform ved å ta utgangspunkt i nullpunktene til funksjonen. Vi kan se at grafen skjærer \(x\)-aksen i \(x = -3\) og \(x = 1\) som betyr at

\[ f(x) = a(x + 3)(x - 1). \]

Flytter vi oss én enhet fra ekstremalpunktet langs \(x\)-aksen, endres \(y\)-verdien med \(-2\). Det betyr at \(a = -2\). Ergo får vi at

\[ f(x) = -2(x + 3)(x - 1). \]

Ekstremalpunktsform Vi har fortsatt at den ledenede koeffisienten er \(a = -2\). Vi kan lese av at ekstremalpunktet er \((-1, 8)\) som betyr at

\[ f(x) = -2(x + 1)^2 + 8 \]

Standardform På standardform vil \(f(x)\) være gitt ved

\[ f(x) = ax^2 + bx + c. \]

Symmetrilinja er \(x = -1\) som betyr at

\[ x = -\dfrac{b}{2a} = -1 \implies b = 2a. \]

Det betyr at

\[ f(x) = ax^2 + 2ax + c. \]

Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \((0, 6)\) som betyr at \(c = 6\). Dermed har vi at

\[ f(x) = ax^2 + 2ax + 6. \]

For å bestemme verdien til \(a\) setter vi inn ett kjent punkt på grafen til \(f\). Vi bruker \((1, 0)\) som gir

\[ f(1) = 0 \liff a + 2a + 6 = 0 \liff a = -2. \]

Altså er

\[ f(x) = -2x^2 - 4x + 6. \]

---

Oppgave 3

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 5x^2 + 8x + 4 \]

a

Bestem nullpunktene til \(f\).

Fasit

\[ x = -2 \qog x = -1. \]

Løsning

Alle mulige heltallige nullpunkter vil kunne dele kontantleddet til \(f(x)\). Det betyr at kandidatene for heltallige nullpunkter er

\[ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 4\} \]

Siden alle leddene er positive, er det bare mulig å finne negative nullpunkter. Vi tester \(x = -1\):

Her ble resten null som betyr at

\[ x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = (x + 1)(x^2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)^2. \]

der vi i siste overgang har brukt 1. kvadratsetning. Det betyr at nullpunktene til \(f\) er

\[ x = -2 \qog x = -1. \]

b

Løs ulikheten \(f(x) < 0\).

Fasit

\[ x \in \langle \gets, -1 \rangle \setminus \{-2\}. \]

En alternativ måte å uttrykke løsningen på kan være \(x \in \langle \gets, -2\rangle \cup \langle -2, -1 \rangle\).

Løsning

For å løse ulikheten \(f(x) < 0\) tegner vi et fortegnsskjema:

Fra fortegnslinja til \(f(x)\) ser vi at \(f(x) < 0\) når

\[ x \in \langle \gets, -1 \rangle \setminus \{-2\}. \]

En alternativ måte å uttrykke løsningen på kan være \(x \in \langle \gets, -2\rangle \cup \langle -2, -1 \rangle\).

---

Oppgave 4

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{4x + 8}{2x^2 - 8} \]

Hvilke av påstandene nedenfor er riktige?

Husk å begrunne svarene dine og vurdere hver påstand.

Påstand 1

Grafen til \(f\) har to vertikale asymptoter.

Påstand 2

Grafen til \(f\) har en horisontal asymptote \(y = 0\).

Påstand 3

Grafen til \(f\) har nøyaktig ett nullpunkt.

Fasit

Påstand 1

Feil.

Påstand 2

Riktig.

Påstand 3

Feil.

Løsning

For å vurdere de tre påstandene starter vi først med å nullpunktsfaktorisere telleren og nevneren, og deretter forkorte brøken så mye som mulig.

For tellerpolynomet har vi at

\[ 4x + 8 = 4(x + 2). \]

For nevnerpolynomet har vi at

\[ 2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x + 2)(x - 2). \]

Dermed kan vi forkorte brøken til

\[ f(x) = \dfrac{4(x + 2)}{2(x + 2)(x - 2)} = \dfrac{2}{x - 2}, \quad x \neq -2. \]

Nå er vi klare til å vurdere påstandene.

Påstand 1

Grafen til \(f\) har bare én vertikal asymptote i \(x = 2\) siden den forkortede brøken gir oss bare ett nullpunkt i nevneren som er \(x = 2\). Det betyr at påstand 1 er feil.

Påstand 2

Nevnerpolynomet er av en høyere grad enn tellerpolynomet som betyr at den horisontale asymptoten må være \(y = 0\). Derfor er påstanden riktig.

Påstand 3

Grafen til \(f\) har ingen nullpunkter siden den forkortede brøken gir oss en konstant i telleren ikke kan være lik null. Dermed er påstand 3 feil.

---

Oppgave 5

Anna har skrevet programmet nedenfor.

def f(x):
    return 2 * x**3 - 3 * x**2 - 12 * x - 4


x = -3
while f(x) < f(x + 1):
    x = x + 1

print((x, f(x)))

a

Hva er det Anna prøver å finne ut med programmet sitt?

Fasit

Programmet finner toppunktet til grafen til \(f\).

Løsning

Programmet starter med \(x = -3\) og øker verdien til \(x\) med \(1\) så lenge \(f(x) < f(x + 1)\). Det betyr at programmet stadig sjekker om den neste funksjonsverdien er større enn den forrige. Med én gang dette ikke er sant, så stopper while-løkka og skriver ut \((x, f(x))\) for den siste verdien av \(x\). Det betyr at programmet finner toppunktet til grafen til \(f\).

b

Bestem verdiene som skrives ut av programmet når det kjøres.

Fasit

\[ (-1, 3) \]

Løsning

Siden programmet finner toppunktet til grafen til \(f\), kan vi avgjøre verdiene programmet skriver ut ved å løse \(f'(x) = 0\).

Vi starter med å finne \(f'(x)\):

\[ f'(x) = (2 x^3 - 3x^2 - 12x - 4)' = 6x^2 - 6x - 12. \]

Deretter løser vi \(f'(x) = 0\):

\[ f'(x) = 0 \liff 6x^2 - 6x - 12 = 0 \liff x^2 - x - 2 = 0. \]

Vi bruker \(abc\)-formelen for å løse denne likningen:

\[ x = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 \pm 3}{2} \]

som gir

\[ x = -1 \or x = 2. \]

Den første av de to vil gi oss toppunktet (hvis ikke ville programmet aldri kjørt i utgangspunktet). Vi finner \(y\)-koordinaten til punktet ved:

\[ f(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 - 12 \cdot (-1) - 4 = -2 - 3 + 12 - 4 = 3. \]

Ergo skriver programmet ut \((-1, 3)\).

---

Oppgave 6

Synne satte inn penger på en sparekonto med \(3~\%\) rente per år for fem år siden. I dag har Synne \(100~000\) kr på kontoen.

Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å regne ut hvor mye Synne satte inn på kontoen for fem år siden?

A

\[ 100~000 \cdot 0.97^5 \]

B

\[ \dfrac{100~000}{1.03^5} \]

C

\[ 100~000 \cdot 1.03^5 \]

D

\[ 100~000 \cdot 0.97^{-5} \]

E

\[ \dfrac{100~000}{0.97^5} \]

F

\[ 100~000 \cdot 1.03^{-5} \]

Fasit

Alternativ B og F.

Løsning

Siden sparekontoen har en rente på \(3~\%\) per år, betyr at vekstfaktoren \(V\) til den prosentvise veksten er

\[ V = 100~\% + 3~\% = 103~\% = 1.03. \]

Den opprinnelige verdien \(x\) vil da være gitt ved

\[ 100~000 = x \cdot V^5 = x \cdot 1.03^5 \liff x = \dfrac{100~000}{1.03^5} = 100~000 \cdot 1.03^{-5}. \]

der vi har brukt at \(\dfrac{1}{1.03^5} = 1.03^{-5}\) per definisjon.

Ergo er alternativ B og alternativ F riktige uttrykk for regnestykket.

---

Oppgave 7

Grafen til den deriverte \(f'\) til en funksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Hvilken figur nedenfor viser grafen til \(f\)?

Husk å begrunne svaret ditt.

Fasit

Alternativ C.

Løsning

Grafen til \(f'\) skjærer \(x\)-aksen i

\[ x = -2 \qog x = 1 \qog x = 3. \]

Dette vil være \(x\)-koordinatene til ekstremalpunktene til grafen til \(f\) som betyr at alternativ B kan utelukkes.

Fra grafen til \(f'(x)\) kan vi se at \(f'(x) < 0\) når \(x < -2\) som betyr at grafen til \(f\) synker når \(x < -2\). Dette stemmer bare overens med graf C.

Ergo er det riktige svaret alternativ C.

---

Oppgave 8

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem et mulig uttrykk for \(f(x)\).

Husk å forklare hvordan du har tenkt.

Fasit

\[ f(x) = \dfrac{2(x + 2)(x - 2)}{(x + 1)(x - 1)}. \]

Løsning

Vi kan skrive \(f(x)\) som

\[ f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \]

der \(P(x)\) og \(Q(x)\) er polynomer.

Grafen til \(f\) har en horisontal asymptote \(y = 2\) som betyr at både \(P(x)\) og \(Q(x)\) må ha samme grad.

• Nullpunktene til \(f\) er gitt ved \(x = -2\) og \(x = 2\) som betyr at \(P(x) = a(x + 2)(x - 2)\).

• De vertikale asymptotene til \(f\) er gitt ved \(x = -1\) og \(x = 1\) som betyr at \(Q(x) = (x + 1)(x - 1)\).

For å sikre at grafen til \(f\) får riktig horisontal asymptote, må vi velge at \(a = 2\). Dermed har vi at

\[ f(x) = \dfrac{2(x + 2)(x - 2)}{(x + 1)(x - 1)}. \]

---

Del 2

2 timer med hjelpemidler

Oppgave 1

En mynt blir sluppet fra ulike høyder. Farten mynten hadde rett før den traff bakken for ulike høyder er vist i tabellen nedenfor.

Høyde (meter)	$0.5$	$1.0$	$1.5$	$2.0$	$3.0$	$4.0$
Fart (meter per sekund)	$3.1$	$4.4$	$5.4$	$6.2$	$7.7$	$8.9$

Sammenhengen mellom farten og høyden kan beskrives av en modell \(F\) på formen

\[ F(x) = a \cdot x^b \]

der mynten blir sluppet \(x\) meter over bakken og har farten \(F(x)\) målt i meter per sekund rett før den treffer bakken.

a

Bruk opplysningene i tabellen ovenfor til å bestemme \(a\) og \(b\).

Fasit

\[ a = 4.3974 \and b = 0.507 \]

Løsning

Vi legger inn opplysningene i et regneark som følger:

Deretter bruker vi og velger potensfunksjon for å bestemme verdiene til \(a\) og \(b\). Da finner vi som følger:

Ergo er

\[ a = 4.3974 \and b = 0.507 \]

b

Den største farten en mynt kan oppnå på grunn av luftmotstand er \(20\) meter per sekund.

Gjør beregninger og anslå gyldighetsområdet til modellen.

Fasit

\[ x \in [0, 19.84] \]

Løsning

Vi bruker verdiene for \(a\) og \(b\) vi fant i forrige deloppgave og lager oss en potensfunksjon

\[ F(x) = a \cdot x^b = 4.3974 \cdot x^{0.507}. \]

Deretter løser vi \(F(x) < 20\) med CAS for å finne gyldighetsområdet til modellen:

Vi ser at farten til mynten holder seg nedenfor \(F(x) = 20\) omtrentlig når

\[ x \in [0, 19.84] \]

som er et anslag på gyldighetsområdet til modellen ut ifra opplysningen om den største mulige farten på grunn av luftmotstand.

---

Oppgave 2

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -x^3 + 6x^2, \quad x \in [0, 6]. \]

Punktene \(A\), \(B\), \(C\) og \(D\) danner et rektangel. Punktet \(A\) ligger i origo, punktet \(B(k, 0)\) ligger på \(x\)-aksen, punktet \(C\) ligger på grafen til \(f\) og punktet \(D\) ligger på \(y\)-aksen.

Se figuren nedenfor.

a

Bestem arealet dersom \(k = 2\).

Fasit

\[ 32 \]

Løsning

Arealet av rektangelet er gitt ved

\[ A = 2 \cdot f(2) = 2 \cdot (-2^3 + 6 \cdot 2^2) = 32. \]

b

Bestem den verdien for \(k\) som gir størst mulig areal av rektangelet.

Fasit

\[ k = \dfrac{9}{2}. \]

Løsning

Vi setter opp en funksjon for arealet av rektangelet:

\[ A(k) = k \cdot f(k). \]

For å avgjøre hvilken verdi av \(k\) som gir størst mulig arealet, løser vi \(A'(k) = 0\) siden dette gir kandidater for ekstremalpunktene til \(A(k)\). Vi gjør dette med CAS:

Vi får at enten så er \(k = 0\) eller så er \(k = 9/2\). Siden \(k = 0\) vil gi oss et areal på null vil den verdien av \(k\) som gir størst mulig areal være

\[ k = \dfrac{9}{2}. \]

---

Oppgave 3

Nedenfor vises de fire første figurene i en figurfølge. Arealet av den første figuren er \(1\).

La \(T_n\) være antall blå trekanter i figur \(n\) og \(A_n\) være arealet av én blå trekant i figuren.

Vi lar \(F_n\) være arealet av alle de fargelagte trekantene i figur \(n\).

a

Lag en oversikt som vist nedenfor. Fyll ut tabellen.

$n$	$T_n$	$A_n$	$F_n$
$1$	$1$	$1$	$1 \cdot 1$
$2$
$3$
$4$

Fasit

$n$	$T_n$	$A_n$	$F_n$
$1$	$1$	$1$	$1 \cdot 1$
$2$	$3$	$\dfrac{1}{4}$	$3 \cdot \dfrac{1}{4}$
$3$	$3^2$	$\dfrac{1}{4^2}$	$3^2 \cdot \dfrac{1}{4^2}$
$4$	$3^3$	$\dfrac{1}{4^3}$	$3^3 \cdot \dfrac{1}{4^3}$

b

Bestem et uttrykk for \(F_n\).

Fasit

\[ T_n = 3^{n - 1} \cdot \dfrac{1}{4^{n - 1}} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n - 1} \qfor n = 1, 2, 3, \dots \]

Løsning

Fra tabellen kan vi generalisere til at

\[ A_n = \dfrac{1}{4^{n - 1}} \and T_n = 3^{n - 1} \qfor n = 1, 2, 3, \dots \]

Siden \(F_n = T_n \cdot A_n\) for alle \(n\), så har vi at

\[ T_n = 3^{n - 1} \cdot \dfrac{1}{4^{n - 1}} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n - 1} \qfor n = 1, 2, 3, \dots \]

c

Figurfølgen består av \(100\) slike figurer som følger mønsteret ovenfor.

Lag et program som beregner det samlede arealet til alle de blå fargelagte trekantene.

Fasit

samlet_areal = 0
F = 1
for n in range(100):
    samlet_areal = samlet_areal + F
    F = F * 3/4

print(samlet_areal)

som gir utskriften

3.999999999998716

---

Oppgave 4

En skoleklasse skal på tur og overnatter på hotell.

Hotellet tilbyr rom med 2 senger eller 4 senger. Klassen får plass på 18 rom. Det er til sammen 48 senger.

Hvor mange rom var det med \(2\) senger og hvor mange rom var det med \(4\) senger?

Fasit

\(12\) rom med \(2\) senger og \(6\) rom med \(4\) senger.

Løsning

La \(x\) være antall rom med \(2\) senger og la \(y\) være antall rom med \(4\) senger. Da har vi at

\[\begin{align*} x + y &= 18 && \mathrm{Antall \, rom}\\ 2x + 4y &= 48 && \mathrm{Antall \, senger} \end{align*}\]

Vi løser likningsystemet med CAS:

Altså er løsningen av likningsystemet

\[ x = 12 \and y = 6. \]

Det betyr at det var \(12\) rom med \(2\) senger og \(6\) rom med \(4\) senger.

---

Oppgave 5

Omkretsen av figuren ovenfor er \(100\).

Bestem det største mulige arealet figuren kan ha.

Fasit

\[ A_\mathrm{størst} = 125 \]

Løsning

Omkretsen til figuren tilfredsstiller likningen

\[ 4x + 8x + 8y = 100 \liff 12x + 8y = 100. \]

Arealet \(A\) av figuren er gitt ved

\[ A = x^2 + 4xy. \]

Vi løser den første likningen for \(y\) slik at vi kan lage oss en funksjon \(A(x)\) for arealet:

\[ 12x + 8y = 100 \liff 8y = 100 - 12x \liff y(x) = \dfrac{100 - 12x}{8} \]

Dermed har vi at

\[ A(x) = x^2 + 4x\cdot y(x) = x^2 + 4x \cdot \dfrac{100 - 12x}{8} \]

For å bestemme det største mulige arealet av figuren, gjør vi som følger:

1. Løser \(A'(x) = 0\) for å finne kandidater for ekstremalpunktene til \(A(x)\).

2. Regner ut \(A(x)\) for kandidatene for å finne det største arealet.

Dette gjør vi med CAS:

Fra utregningene i CAS ser vi at det største mulige arealet av figuren er

\[ A_\mathrm{størst} = 125 \]