Setningslogikk#
Læringsmål: setningslogikk
Kunne forklare hva en påstand er i matematikken.
Kunne forklare begrepene implikasjon og ekvivalens, og bruke disse for å uttrykke sammenhenger mellom påstander.
Kunne forklare begrepene logisk og, og logisk eller, og bruke disse for å uttrykke sammensatte påstander.
Kunne bruke matematisk notasjon for implikasjon, ekvivalens, logisk og - og logisk eller.
Setningslogikk handler om å uttrykke påstander på en presis måte. Vi skal introdusere et par nyttige begreper og skrivemåter som vi kommer til å bruke mye.
Påstander#
En påstand i matematikken kan ofte beskrives som en likning eller en ulikhet. En påstand kan være usann, men vi skal alltid anta at en påstand er sann og utvikle teori der vi beskriver sanne påstander.
Eksempel 1: påstander i matematikken
La oss se på noen eksempler på påstander i matematikken:
Påstand |
Beskrivelse |
|---|---|
\(2x + 1 = 3\) |
\(2x + 1\) er lik \(3\). |
\(x > 4\) |
\(x\) er større enn 4. |
\(x \in [1, 2]\) |
\(x\) er et tall i intervallet \([1, 2]\). |
\(x \in \mathbb{N}\) |
\(x\) er et naturlig tall. |
\(x \in \mathbb{R}\) |
\(x\) er et reelt tall. |
Implikasjon og ekvivalens#
Noen ganger er det en logisk sammenheng mellom to påstander. Hvis en påstand er sann og dette gjør at en annen påstand også må være sann, kaller vi det for en implikasjon. Hvis det derimot er slik at begge påstandene må være sanne for at den ene skal være sann, snakker vi om ekvivalens.
Implikasjon#
Hva med motsatt?
Hvis \(P\) impliseres av \(Q\), kan vi skrive pilen motsatt vei:
eller bare skrive
Implikasjon
La oss si \(P\) og \(Q\) er to påstander. Hvis det er slik at når \(P\) er sann, så betyr dette automatisk også at \(Q\) er sann, sier vi at \(P\) impliserer \(Q\).
Da skriver vi:
som vi leser som “hvis \(P\) er sann, så er \(Q\) sann” - eller bare “hvis \(P\), så \(Q\)”.
Vi går løs på et eksempel:
Eksempel 2: implikasjon
To har to påstander som følger:
Vi har to påstander \(P\) og \(Q\) som følger:
Vi kan være enig om at hvis Kari bor i Oslo, så bor hun også i Norge. Derfor må det være slik at hvis \(P\) er sann, så er \(Q\) også sann. Derfor kan vi skrive
Det motsatte er ikke tilfellet. Hvis Kari bor i Norge, kan hun bo mange andre steder enn Oslo. Derfor er ikke slik at hvis \(Q\) er sann, så er også nødvendigvis \(P\) sann. Vi skriver dette som
Vi slenger altså en skråstrek gjennom pilen hvis vi vil uttrykke at implikasjonen ikke gjelder.
Vi tar noen eksempler som er litt mer matematiske:
Eksempel 3: implikasjon
Under vises noen påstander \(P\) og \(Q\). Her vises vi noen eksempler hvor \(P \implies Q\), og noen hvor \(P \impliedby Q\).
Påstand \(P\) |
Påstand \(Q\) |
Forklaring |
|
|---|---|---|---|
\(x = 2\) |
\(\implies\) |
\(x \in \{1, 2, 5\}\) |
Hvis \(x = 2\), så er \(x\) også et element i mengden \(\{1, 2, 5\}\). |
\(n \in \mathbb{N}\) |
\(\implies\) |
\(n \in \mathbb{Z}\) |
Hvis \(n\) er et naturlig tall, er det også et heltall. |
\(x > 3\) |
\(\impliedby\) |
\(x > 6\) |
Hvis \(x\) er større enn \(6\), må også \(x\) være større enn \(3\) siden \(6 > 3\). |
\(x \in \langle -10, 10 \rangle\) |
\(\impliedby\) |
\(x \in \langle -5, 5 \rangle\) |
Hvis \(x\) ligger mellom \(-5\) og \(5\), ligger \(x\) også mellom \(-10\) og \(10\). |
Legg merke til at implikasjonene i tabellen over ikke går motsatt vei. For eksempel er det ikke slik at hvis \(x \in \{1, 2, 5\}\), så må ikke \(x = 2\) siden \(x\) kan også være en av de to andre tallene i mengden.
Så er det din tur!
Underveisoppgave 1
Fyll ut tabellen under med \(\impliedby\) eller \(\implies\) for å uttrykke den logiske sammenhengen mellom påstandene.
Påstand \(P\) |
\(\impliedby\) eller \(\implies\) |
Påstand \(Q\) |
|---|---|---|
\(m = -2\) |
\(m \in \mathbb{Z}\) |
|
\(n \in \mathbb{R}\) |
\(n \in \mathbb{Q}\) |
|
\(x < -2\) |
\(x < 0\) |
|
\(x \in \langle -4, 6 \rangle\) |
\(x \in \langle -3, 5 \rangle\) |
|
\(-1 \leq x \leq 1\) |
\(-3 < x < 3\) |
Fasit
Påstand \(P\) |
\(\impliedby\) eller \(\implies\) |
Påstand \(Q\) |
|---|---|---|
\(m = -2\) |
\(\implies\) |
\(m \in \mathbb{Z}\) |
\(n \in \mathbb{R}\) |
\(\impliedby\) |
\(n \in \mathbb{Q}\) |
\(x < -2\) |
\(\implies\) |
\(x < 0\) |
\(x \in \langle -4, 6 \rangle\) |
\(\impliedby\) |
\(x \in \langle -3, 5 \rangle\) |
\(-1 \leq x \leq 1\) |
\(\implies\) |
\(-3 < x < 3\) |
Ekvivalens#
Ekvivalens
La \(P\) og \(Q\) være to påstander. Hvis det er slik at \(P\) er sann bare hvis \(Q\) er sann, og \(Q\) er sann bare hvis \(P\) er sann, så sier vi at \(P\) og \(Q\) er ekvivalente påstander. Vi skriver
Vi leser dette som “\(P\) er sann hvis og bare hvis \(Q\) er sann”. Sammenhengen med implikasjon er at både
Vi tar et eksempel der noen påstander er ekvivalente, mens andre kun impliserer den éne veien.
Absoluttverdien
En mye brukt størrelse i matematikken kalles for absoluttverdien av et tall \(x\) og skrives som \(|x|\). Absoluttverdien av et tall er avstanden fra \(0\) til tallet på tallinjen. Vi kan se det som at vi bare “tar bort” fortegnet. For eksempel er \(|-4| = 4\) og \(|4| = 4\).
Eksempel 4: ekvivalens
Under vises noen påstander \(P\) og \(Q\). I noen tilfeller er påstandene ekvivalente, i andre tilfeller er det bare implikasjon én vei.
Påstand \(P\) |
Påstand \(Q\) |
Forklaring |
|
|---|---|---|---|
\(x \in \{-2, 2\}\) |
\(\iff\) |
\(x^2 = 4\) |
Hvis \(x\) er enten \(-2\) eller \(2\), så er \(x^2 = 4\). Og motsatt, hvis \(x^2 = 4\), så må \(x\) være enten \(-2\) eller \(2\). |
\(x = 3\) |
\(\implies\) |
\(x^2 = 9\) |
\(x = -3\) kan også være tilfellet når \(x^2 = 9\). Derfor er ikke påstandene ekvivalente. |
\(-2 < x < 2\) |
\(\iff\) |
\(x \in \langle -2, 2 \rangle\) |
To måter å skrive akkurat det samme på. |
\(x^2 > 0 \) |
\(\impliedby\) |
\(x > 0\) |
\(x^2 > 0\) når \(x < 0\) også. Derfor er ikke påstandene ekvivalente. |
Så er det din tur!
Underveisoppgave 2
Fyll ut tabellen under med \(\iff\), \(\impliedby\) eller \(\implies\) slik at sammenhengene mellom påstandene stemmer.
Påstand \(P\) |
\(\iff\), \(\impliedby\) eller \(\implies\) |
Påstand \(Q\) |
|---|---|---|
\(x = 5\) |
\(x^2 = 25\) |
|
\(x \in \{-3, 3\}\) |
\(|x| = 3\) |
|
\(x^2 = 25\) |
\(x = -5\) |
|
\(x^3 > 0\) |
\(x > 0\) |
|
\(-2 < x < 3\) |
\(x \in \langle -2, 3 \rangle\) |
|
\(x > 2\) |
\(x\in [2, \to \rangle\) |
Fasit
Påstand \(P\) |
\(\iff\), \(\impliedby\) eller \(\implies\) |
Påstand \(Q\) |
|---|---|---|
\(x = 5\) |
\(\implies\) |
\(x^2 = 25\) |
\(x \in \{-3, 3\}\) |
\(\iff\) |
\(|x| = 3\) |
\(x^2 = 25\) |
\(\impliedby\) |
\(x = -5\) |
\(x^3 > 0\) |
\(\iff\) |
\(x > 0\) |
\(-2 < x < 3\) |
\(\iff\) |
\(x \in \langle -2, 3 \rangle\) |
\(x > 2\) |
\(\implies\) |
\(x \in [2, \to \rangle\) |
Logisk og – logisk eller#
Ofte ønsker vi å sette sammen påstander for å lage nye mer sammensatte påstander. Dette kan vi gjøre ved hjelp av såkalt logisk og - og logisk eller.
Logisk eller#
Logisk eller brukes når en av to påstander er sanne, eller begge.
Definisjon: logisk eller
La \(P\) og \(Q\) være to påstander. Da kan vi lage oss en ny påstand ved å skrive
som betyr at enten så er \(P\) sann, eller så er \(Q\) sann, eller så er begge sanne.
Vi leser \(P \lor Q\) som “\(P\) er sann eller \(Q\) er sann”.
Vi tar et eksempel som vi kommer til å se gjentatte ganger senere:
Eksempel 5: logisk eller
En spesiell type andregradslikning som dukker opp i blant kan vi løse ved å “gjette” på svaret. Vi ser på likningen
Hvis vi prøver å sette inn \(x = 1\) får vi
så vi ser at \(x = 1\) er en løsning. Hvis vi prøver å sette inn \(x = -2\) får vi
så vi ser at \(x = -2\) er en løsning også.
Formelt sett kan vi da uttrykke at påstanden
er sann hvis og bare hvis
Matematisk skriver vi dette som
Vi kan derfor tenke på symbolet som
Logisk og#
Logisk og bruker vi når vi skal kombinere to påstander sammen, der begge to må være sanne samtidig.
Logisk og
La \(P\) og \(Q\) være to påstander. Da kan vi lage oss en ny påstand ved å skrive
som uttrykker at \(P\) og \(Q\) må være sanne samtidig.
Vi leser \(P \land Q\) som “\(P\) er sann og samtidig er \(Q\) sann”.
Vi tar et eksempel på en typisk tilfelle der vi får bruk for dette:
Eksempel 6: logisk og
Et likningssystem er gitt ved
Når vi løser et likningssystem, så er vi ute etter å bestemme \(x\) og \(y\) slik at begge likningene er oppfylt samtidig - altså at begge likninger er sanne påstander. Altså mener vi egentlig at vi er ute etter å bestemme \(x\) og \(y\) slik at
Løsningen viser seg å være
Matematisk skriver vi:
Vi tenker derfor på symbolet for logisk og som