Oppgaver: Ekstremalform

Oppgave 1

---

Oppgave 2

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i Fig. 9.27.

Fig. 9.27 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

a

Bestem ekstremalpunktet til \(f\).

Fasit

\[ (-3, -4) \]

b

Er ekstremalpunktet et toppunkt eller bunnpunkt?

Fasit

Bunnpunkt.

c

Bestem ekstremalformen til \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = 2(x + 3)^2 - 4 \]

---

Oppgave 3

Grafen til en andregradsfunksjon \(g\) er vist i Fig. 9.28.

Fig. 9.28 viser grafen til en andregradsfunksjon \(g\).

a

Bestem ekstremalpunktet til \(g\).

Fasit

\[ (2, 1) \]

b

Er ekstremalpunktet et toppunkt eller bunnpunkt?

Fasit

Toppunkt.

c

Bestem ekstremalformen til \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = -(x - 2)^2 + 1 \]

---

Oppgave 4

a

Ekstremalformen til en andregradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = 3(x - 2)^2 + 5. \]

Bestem standardformen til \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = 3x^2 - 12x + 17 \]

b

Ekstremalformen til en andregradsfunksjon er gitt ved

\[ g(x) = -2(x + 1)^2 - 3 \]

Bestem standardformen til \(g(x)\).

Fasit

\[ f(x) = -2x^2 - 4x - 5 \]

c

Ekstremalformen til en andregradsfunksjon er gitt ved

\[ h(x) = 4(x - 3)^2 - 7 \]

Bestem standardformen til \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = 4x^2 - 24x + 29 \]

d

Ekstremalformen til en andregradsfunksjon er gitt ved

\[ r(x) = -5(x + 1)^2 + 6 \]

Bestem standardformen til \(r(x)\).

Fasit

\[ r(x) = -5x^2 - 10x + 1 \]

---

Oppgave 5

En andregradsfunksjon \(f\) har nullpunktsformen

\[ f(x) = -(x - 2)(x + 4). \]

a

Bestem symmetrilinja til $f$. Hvis nullpunktene til $f$ er $x_1$ og $x_2$, så vil symmetrilinja $x_0$ være gjennomsnittet av de to punktene: $$x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$$

Fasit

\[ x = 1 \]

b

Avgjør om ekstremalpunktet til \(f\) svarer til et toppunkt eller bunnpunkt.

Fasit

Toppunkt siden \(a < 0\).

---

Oppgave 6

En andregradsfunksjon \(f\) har nullpunktsformen

\[ f(x) = 2(x + 1)(x + 3) \]

a

Bestem symmetrilinja til \(f\).

Fasit

\[ x = -2 \]

b

Avgjør om ekstremalpunktet til \(f\) er et toppunkt eller bunnpunkt.

Fasit

Bunnpunkt siden \(a > 0\).

---

Oppgave 7

a

Nullpunktsformen til en andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2(x - 1)(x + 3). \]

Bestem ekstremalformen til \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = 2(x + 1)^2 - 8 \]

b

Nullpunktsformen til en andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -(x + 2)(x - 4). \]

Bestem ekstremalformen til \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = -(x - 1)^2 + 9 \]

c

Nullpunktsformen til en andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = 3(x - 1)(x - 5). \]

Bestem ekstremalformen til \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = 3(x - 3)^2 - 12 \]

d

Nullpunktsformen til en andregradsfunksjon \(r\) er gitt ved

\[ r(x) = -\dfrac{1}{2}(x - 2)(x + 6). \]

Bestem ekstremalformen til \(r(x)\).

Fasit

\[ r(x) = -\drac{1}{2}(x + 2)^2 - 8 \]

---

Oppgave 8

a

En andregradsfunksjon \(f\) har et ekstremalpunkt i \((1, 3)\) og skjærer \(y\)-aksen i \((0, 2)\).

Bestem ekstremalformen til \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = -(x - 1)^2 + 3 \]

b

En andregradsfunksjon \(g\) har

• Symmetrilinje \(x = 2\).

• Skjæring med \(y\)-aksen i \(y = 4\).

• Verdimengden \(g(x) \in \langle \gets, 5]\).

Bestem ekstremalformen til \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = -\dfrac{1}{4}(x - 1)^2 + 5 \]

c

En andregradsfunksjon \(h\) har

• Symmetrilinja \(x = -2\).

• Verdimengden \(h(x) \in [1, \to \rangle\).

• Skjæringspunkt med \(y\)-aksen i \((0, 5)\).

Bestem ekstremalformen til \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = (x + 2)^2 + 1 \]