9.3. Ekstremalform

Læringsmål

• Kunne representere en andregradsfunksjon på ekstremalform, og lese av ekstremalpunktet fra funksjonsuttrykket.

• Kunne bestemme \(f(x)\) på ekstremalform fra graf.

• Kunne finne standardform fra ekstremalform.

• Kunne finne ekstremalform fra nullpunktsform, og kunne beskrive sammenhengen mellom nullpunkter og symmetrilinje.

• Kunne bestemme om et ekstremalpunkt er et topp- eller bunnpunkt fra ekstremalformen til en andregradsfunksjon.

Før vi ser på hva ekstremalformen til en andregradsfunksjon er, må vi først definere noen nye begreper.

Ekstremalpunkt, ekstremalverdi, toppunkt og bunnpunkt

En andregradsfunksjon har enten et toppunkt og bunnpunkt.
Vi kaller \(x\)-koordinaten til dette punktet for ekstremalpunktet og \(y\)-koordinaten for ekstremalverdien.

Se figuren nedenfor.

Fig. 9.8 viser to andregradsfunksjoner der grafen til venstre har et bunnpunkt og grafen til høyre har et toppunkt.

---

Eksempel 1

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i Fig. 9.9.

1. Bestem hva slags ekstremalpunkt \(f\) har.

2. Bestem ekstremalpunktet og ekstremalverdien til \(f\).

Fig. 9.9 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Løsning

1. Siden grafen til \(f\) er konkav \(\frown\), har \(f\) et toppunkt.

2. Det høyeste punktet på grafen er \((-1, 2)\). Dette er koordinatene til toppunktet på grafen til \(f\). Da er \(x_0 = -1\) ekstremalpunktet og \(y_0 = 2\) ekstremalverdien.

---

Ekstremalform: algebraisk og grafisk

Ekstremalformen til en andregradsfunksjon er en tredje måte å skrive en andregradsfunksjon på. Ekstremalformen inneholder informasjon om ekstremalpunktet til funksjonen.

Ekstremalform

Ekstremalformen til en andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

• Hvis \(a > 0\) er grafen til \(f\) konveks \(\smile\) og har et bunnpunkt.

• Hvis \(a < 0\) er grafen til \(f\) konkav \(\frown\) og har et toppunkt.

• Linja \(x = x_0\) er symmetrilinja til \(f\). Grafen er speilet rundt denne linja!

---

Eksempel 2

Under vises noen eksempler på andregradsfunksjoner med grafen og tilhørende funksjonsuttrykk skrevet på ekstremalform.

\(f\)

Grafen til \(f\) har et bunnpunkt i \((-1, -3)\) som betyr at grafen til \(f\) har

• ekstremalpunktet \(x_0 = -1\)

• ekstremalverdien \(y_0 = -3\).

Ekstremalformen til \(f(x)\) er gitt ved

\[ f(x) = (x + 1)^2 - 3 \]

\(g\)

Grafen til \(g\) har et toppunkt i \((2, 1)\) som betyr at \(g\) har

• ekstremalpunktet \(x_0 = 2\)

• ekstremalverdien \(y_0 = 1\).

Ekstremalformen til \(g(x)\) er gitt ved

\[ g(x) = -\dfrac{1}{2}(x - 2)^2 + 1 \]

\(h\)

Grafen til \(h\) har et bunnpunkt i \((-1, 1)\) som betyr at \(h\) har

• ekstremalpunktet \(x_0 = -1\)

• ekstremalverdien \(y_0 = 1\).

Ekstremalformen til \(h(x)\) er gitt ved

\[ h(x) = 2(x + 1)^2 + 1 \]

---

Quiz 1

---

Bestemme \(f(x)\) fra graf

Vi skal se på hvordan vi kan gå fra grafen til en andregradsfunksjon til et funksjonsuttrykk for ved hjelp av ekstremalformen.

Eksempel 3

Grafen til en andregradsfunksjon er vist i Fig. 9.10.

Bestem ekstremalformen til \(f(x)\).

Fig. 9.10 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Løsning

Vi starter fra ekstremalformen til \(f(x)\):

\[ f(x) = a(x - x_1)^2 + y_1 \]

Fra grafen til \(f\) kan vi lese av at det har et bunnpunkt i \((1, -2)\) som betyr at

\[ (x_1, y_1) = (1, -2). \]

Vi setter dette inn i ekstremalformen til \(f\):

\[ f(x) = a(x - 1)^2 - 2 \]

Nå må vi ha ett punkt til for å bestemme \(a\). Vi kan se at grafen går gjennom punkt \((3, 0)\) som betyr at

\[\begin{align*} f(3) &= 0 \\ \\ a(3 - 1)^2 - 2 &= 0 \\ \\ 4a - 2 &= 0 \\ \\ 4a &= 2 \\ \\ a &= \dfrac{1}{2} \end{align*}\]

Dermed er

\[ f(x) = \dfrac{1}{2}(x - 1)^2 - 2 \]

---

Underveisoppgave 1

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i Fig. 9.11.

Bestem ekstremalformen til \(f(x)\).

Fig. 9.11 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Fasit

\[ f(x) = -3(x + 2)^2 + 4 \]

Løsning

Vi starter fra ekstremalformen til \(f(x)\):

\[ f(x) = a(x - x_1)^2 + y_1 \]

Vi kan lese fra grafen til \(f\) at det har et toppunkt i \((-2, 4)\) som betyr at

\[ f(x) = a(x - (-2))^2 + 4 = a(x + 2)^2 + 4 \]

Vi trenger ett punkt til for å bestemme \(a\). Vi kan se at grafen går gjennom punkt \((-1, 1)\) som gir

\[\begin{align*} f(-1) &= 1 \\ \\ a(-1 + 2)^2 + 4 &= 1 \\ \\ a(1)^2 + 4 &= 1 \\ \\ a + 4 &= 1 \\ \\ a &= -3 \end{align*}\]

Dermed er

\[ f(x) = -3(x + 2)^2 + 4 \]

Fra nullpunktsform til ekstremalform

Vi skal nå se på hvordan vi kan gå fra nullpunktsformen til ekstremalformen til en andregradsfunksjon.

Utforsk 1

Her skal du utforske sammenhengen mellom nullpunktsformen og ekstremalformen til en andregradsfunksjon.

a

Se på grafene under.

1. Kan du se en sammenheng om hvor nullpunktene ligger i forhold til symmetrilinja?

2. Kan du beskrive sammenhengen generelt?

Løsning

1. Det er like lang avstand fra symmetrilinja til hvert nullpunkt på \(x\)-aksen.

2. Symmetrilinja ligger midt mellom nullpunktene.

Graf A

Graf B

Graf C

b

Bruk det at avstanden fra symmetrilinja til \(x_0\) er den samme til hvert nullpunkt \(x_1\) og \(x_2\) til å finne en formel for \(x_0\) uttrykt ved nullpunktene \(x_1\) og \(x_2\).

Fasit

\[ x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \]

Løsning

Vi lar \(x_1\) være det minste nullpunktet og \(x_2\) være det største nullpunktet. Vi vet at symmetrilinja \(x_0\) ligger mellom de to punktene som betyr at

\[ x_1 < x_0 < x_2 \]

Samtidig kan vi konkludere at

• \(x_0 - x_1\) er avstanden fra \(x_0\) til \(x_1\) siden \(x_0 > x_1\)

• \(x_2 - x_0\) er avstanden fra \(x_0\) til \(x_2\) siden \(x_2 > x_0\)

Siden de to avstandene skal være like, følger det at

\[ x_0 - x_1 = x_2 - x_0 \]

Vi løser likningen med hensyn på \(x_0\):

\[\begin{align*} x_0 - x_1 &= x_2 - x_0 \\ \\ 2x_0 &= x_1 + x_2 \\ \\ x_0 &= \dfrac{x_1 + x_2}{2} \end{align*}\]

Dermed finner vi at symmetrilinja \(x_0\) er gjennomsnittet av nullpunktene.

---

Sammenheng mellom nullpunkter og symmetrilinje

Symmetrilinja \(x_0\) er gjennomsnitt av nullpunktene \(x_1\) og \(x_2\), som vi kan regne ut med:

---

Underveisoppgave 2

Nullpunktsformen til en andregradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = -2(x - 1)(x + 3) \]

Bestem ekstremalformen til \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = -2(x + 1)^2 - 8 \]

Løsning

Nullpunktene til \(f(x)\) er

\[ x = 1 \quad \lor \quad x = -3 \]

Symmetrilinja er gjennomsnittet av nullpunktene som gir

\[ x_0 = \dfrac{1 + (-3)}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1. \]

\(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet er

\[ y_0 = f(x_0) = f(-1) = -2\cdot (-1 - 1) \cdot (-1 + 3) = -2\cdot (-2)\cdot (2) = -8. \]

Dermed er ekstremalformen til \(f(x)\) gitt ved

\[ f(x) = -2(x + 1)^2 - 8 \]

Fra ekstremalform til standardform

Vi skal nå se på hvordan vi kan gå fra ekstremalformen til standardformen til en andregradsfunksjon.

Eksempel 4

En andregradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = (x - 1)^2 + 3 \]

Bestem standardformen til \(f(x)\).

Hint: Algebraisk lov 1

Vi bruker den algebraiske loven for multiplikasjon av to parenteser i utregningen under:

\[ (a + b)^2 = (a + b)(a + b) \]

Hint: Algebraisk lov 2

Vi bruker den algebraiske loven for multiplikasjon av to parenteser i utregningen under:

\[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \]

Løsning

\[\begin{align*} f(x) &= (x - 1)^2 + 3 \\ \\ &= \textcolor{red}{(x - 1)(x - 1)} + 3 \\ \\ &= \textcolor{red}{x^2 - x - x + (-1)\cdot (-1)} + 3 \\ \\ &= x^2 - 2x + 1 + 3 \\ \\ &= x^2 - 2x + 4 \end{align*}\]

Dermed er standardformen til \(f(x)\) gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 2x + 4 \]

---

Underveisoppgave 3

Bestem standardformen til

\[ f(x) = (x + 3)^2 + 4. \]

Fasit

\[ f(x) = x^2 + 6x + 13 \]

Løsning

\[\begin{align*} f(x) &= (x + 3)^2 + 4 \\ \\ &= \textcolor{red}{(x + 3)(x + 3)} + 4 \\ \\ &= \textcolor{red}{x^2 + 3x + 3x + 3^2} + 4 \\ \\ &= \textcolor{red}{x^2 + 6x + 9} + 4 \\ \\ &= x^2 + 6x + 13 \end{align*}\]

Dermed er standardformen til \(f(x)\) gitt ved

\[ f(x) = x^2 + 6x + 13 \]