Eksamen våren 2026

Innhold

Eksamen våren 2026#

Del 1 – 3 timer – Uten hjelpemidler#

Oppgave 1 (2 poeng)

Løs ulikheten

\[ x^2 + 7x + 6 \leq 0. \]

Oppgave 2 (4 poeng)

Gitt likningssystemet

\[\begin{split} \begin{bmatrix} -x^2 + 4 = y \\ x - y = 2 \end{bmatrix} \end{split}\]

a)

Løs likningsystemet ved regning.

b)

Løs likningssystemet grafisk.

Oppgave 3 (3 poeng)

Løs likningen

\[ 2x^3 + 3x^2 - 18x + 8 = 0 \]

Oppgave 4 (2 poeng)

Gitt likningen

\[ a(x + b)^2 = x^2 + 8x + c \]

Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen blir en identitet.

Oppgave 5 (2 poeng)

Susanne arbeid med tallfølgen

\[ 1 \quad 3 \quad 7 \quad 13 \quad 21 \quad \ldots \]

Hun ser et mønster og skriver

\[\begin{split} \begin{align*} 0 \cdot 1 + 1 &= 1 \\ \\ 1 \cdot 2 + 1 &= 3 \\ \\ 2 \cdot 3 + 1 &= 7 \\ \\ 3 \cdot 4 + 1 &= 13 \end{align*} \end{split}\]

a)

Bestem tall nummer $8$ i tallfølgen.

b)

Sett opp en formel som Susanne kan bruke til å finne tall nummber $n$ i tallfølgen.

Oppgave 6 (1 poeng)

Om en trekant $ABC$ får du vite at

vinkel $B$ er $90\degree$
tangens til vinkel $A$ er $1$

Lag en figur og forklar hvordan denne trekanten kan se ut.

Oppgave 7 (5 poeng)

a)

Bruk trekanten ovenfor til å vise at $\sin 30\degree = \dfrac{1}{2}$ og at $\cos 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

b)

Bestem arealet av trekanten nedenfor.

c)

Bestem omkretsen av trekanten nedenfor.

Oppgave 8 (4 poeng)

En rasjonal funksjon $f$ har

ingen nullpunkt
to vertikale asymptoter

a)

Bestem et mulig funksjonsuttrykk $f(x)$.

Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

En rasjonal funksjon $g$ har horisontal asymptote $y = 2$. Grafen til $g$ skjærer ikke $y$-aksen.

b)

Bestem et mulig funksjonsuttrykk $g(x)$.

Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

Oppgave 9 (3 poeng)

Til høyre ser du grafen til en andregradsfunksjon $f$

Bunnpunktet har koordinater $(-1, -12.5)$
Den rette linjen er en tangent med stigningstall $5$

a)

Forklar at $f'(4) = 5$

b)

Bestem $f'(x)$.

Del 2 - 2 timer - Med hjelpemidler#

Oppgave 1 (5 poeng)

Fru Hansen eier en gammel bil. Når hun kjører med en fart på $x$ km/h, slipper bilen ut $U(x)$ gram $\mathrm{CO}_2$ per kilometer, der $U(x)$ er gitt ved

\[ U(x) = \dfrac{5400}{x} + 0.0074x^2 + 50, \quad 30 \lt x \lt 110. \]

a)

Hvor mange gram $\mathrm{CO}_2$ slipper bilen ut per kilometer dersom fru Hansen kjører med en fart på $50$ km/h?

b)

Hvilken fart gir minst utslipp av $\mathrm{CO}_2$ per kilometer?

Hvor mange grafem $\mathrm{CO}_2$ slipper bilen ut per kilometer ved denne farten?

Fru hansen kjører med en fart på $90$ km/h i 20 minutter.

c)

Hvor mange gram $\mathrm{CO}_2$ slipper bilen ut i løpet av disse 20 minuttene?

Oppgave 2 (5 poeng)

Gitt figuren ovenfor.

a)

Bruk trigonometri til å bestemme lengden av sidekanten $AB$.

b)

Bruk trigonometri til å bestemme arealet av trekanten $ABD$

Oppgave 3 (6 poeng)

Vipe er en kritisk truet fugleart i Norge.

I 2013 ble bestanden anslått til å være omtrent 9000 par. I 2022 var bestanden omtrent 2500 par.

År	$2013$	$2022$
Vipebestand (par)	$9000$	$2500$

Tor antar at bestanden av viper har avtatt lineært og vil fortsette å avta lineært i årene framover.

Egil antar at nedgangen har vært, og fortsatt vil være, eksponentiell.

La $x$ være antall år etter $2013$.

a)

Lag en modell $f$ som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Tors antakelser.

Forklar hva modellen forteller om utviklingen.

b)

Lag en modell $g$ som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Egils antakelser.

Forklar hva modellen forteller om utviklingen.

Myndigheter og interesseorganisasjoner arbeider med å verne hekkeområdene til viper. De håper at dette skal bidra til å stoppe nedgangen, slik at bestanden vil stabilisere seg.

Egil ønsker å lage en ny modell som tar hensyn til dette. Han lager først den eksponentielle modellen $p$. Så endrer han litt på denne og kommer fram til modellen $q$.

Nedenfor ser du grafene til de to modellene.

c)

Gjør rede for hvilke antakelser Egil har lagt til grunn for modellen $q$.

Bestem $p(x)$ og $q(x)$.

Oppgave 4 (3 poeng)

Kristian er kunstner. Han arbeider med et prosjekt der han skal lage en seriem med figurer ved å lime kuler på pinner.

Ovenfor ser du de fire første figurene i serien. For å lage figur 4 har Kristian brukt 7 pinner og 12 kuler.

Tenk deg at Kristian skal lage de 50 første figurene i denne serien.

Lag et program som beregner og skriver ut hvor mange kuler han vil trenge, og hvor mange pinner han vil trenge.