Oppgaver: Kvadratsetningene

Oppgave 1

Utvid andregradsuttrykkene ved hjelp av kvadratsetningene.

a

\[ (x + 1)^2 \]

Fasit

\[ x^2 + 2x + 1 \]

b

\[ (x - 3)^2 \]

Fasit

\[ x^2 - 6x + 9 \]

c

\[ (-x + 1)^2 \]

Fasit

\[ x^2 - 2x + 1 \]

d

\[ (x - 3)(x + 3) \]

Fasit

\[ x^2 - 9 \]

---

Oppgave 2

Bruk kvadratsetningene til å faktorisere andregradsuttrykkene til nullpunktsform.

a

\[ x^2 - 2x + 1 \]

Fasit

\[ (x - 1)^2 \]

b

\[ x^2 - 25 \]

Fasit

\[ (x + 5)(x - 5) \]

c

\[ x^2 + 8x + 16 \]

Fasit

\[ (x + 4)^2 \]

d

\[ -x^2 + 16 \]

Fasit

\[ -(x + 4)(x - 4) \]

---

Oppgave 3

Bruk kvadratsetningene til å utvide andregradsuttrykkene.

a

\[ (2x + 4)^2 \]

Fasit

\[ 4x^2 + 16x + 16 \]

b

\[ (3x - 2)^2 \]

Fasit

\[ 9x^2 - 12x + 4 \]

c

\[ (2x - 1)(2x + 1) \]

Fasit

\[ 4x^2 - 1 \]

d

\[ \left(\dfrac{1}{2}x + 1\right)\left(\dfrac{1}{2}x - 1\right) \]

Fasit

\[ \dfrac{1}{4}x^2 - 1 \]

---

Oppgave 4

Bruk kvadratsetningene til å faktorisere andregradsuttrykkene.

a

\[ 4x^2 - 12x + 9 \]

Fasit

\[ (2x - 3)^2 \]

b

\[ 9x^2 - 16 \]

Fasit

\[ (3x - 4)(3x + 4) \]

c

\[ 4x^2 + \dfrac{4}{3}x + \dfrac{1}{9} \]

Fasit

\[ \left(2x + \dfrac{1}{3}\right)^2 \]

d

\[ 16x^2 - \dfrac{1}{4} \]

Fasit

\[ \left(4x + \dfrac{1}{2}\right)\left(4x - \dfrac{1}{2}\right) \]

Oppgave 5

Bestem de ukjente koeffisientene slik at sammenhengene under blir identiteter.

a

\[ (x + b)^2 = x^2 + 6x + 9 \]

Fasit

\[ b = 3 \]

b

\[ (ax + b)^2 = 16x^2 + 8x + 1 \]

Fasit

\[ a = 4 \quad \land \quad b = 1 \]

c

\[ (2x - 2)^2 = ax^2 + bx + c \]

Fasit

\[ a = 4 \quad \land \quad b = -8 \quad \land \quad c = 4 \]

d

\[ (ax + b)(ax - b) = 9x^2 - 4 \]

Fasit

\[ a = 3 \quad \land \quad b = 2 \]

---

Oppgave 6

I denne oppgaven skal du begrunne 1.kvadratsetning geometrisk.

I Fig. 10.2 vises et kvadrat som er bygget opp av to mindre kvadrater og to rektangler.

Bruk arealberegninger til å begrunne 1.kvadratsetning.

Fig. 10.2 viser et kvadrat med sidelengder \(a + b\) bygget opp at et kvadrat med sidelengder \(a\), to rektangler med sidelengder \(a - b\) og \(b\), og et lite kvadrat med sidelengder \(b\).

Hint

Bestem arealet av hele kvadratet på to forskjellige måter.

---

Løsning

Fig. 10.3 viser arealet til hver bit av kvadratet.

Fra Fig. 10.3 kan vi skrive arealet til kvadratet på to måter:

1. Regn ut arealet av det “store” kvadratet direkte:

\[ (a + b) \cdot (a + b) = (a + b)^2 \]

2. Legg sammen arealene til de individuelle bitene som kvadratet er “bygget opp av”:

\[ a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

De to arealene må være like, som betyr at

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

---

Oppgave 7

I denne oppgaven skal du begrunne 2.kvadratsetning geometrisk.

I figur Fig. 10.4 vises et kvadrat der et område av kvadratet er fargelagt grønt.

Bruk arealberegninger av det grønne området til å begrunne 2.kvadratsetning.

Fig. 10.4 viser et kvadrat med et område som er fargelagt grønt.

Hint

Finn arealet av det grønne området på to forskjellige måter.

Løsning

Vi bestemmer arealet av det grønne området på to måter:

1. Arealet av det grønne området direkte:

\[ \text{areal} = (a - b)\cdot (a - b) = (a - b)^2 \]

2. Arealet av det store kvadratet minus arealet av de grå områdene:

\[\begin{align*} \text{areal} &= a^2 - (a - b)\cdot b - (a - b)\cdot b - b^2 \\ \\ & = a^2 - 2(a - b)\cdot b - b^2 \\ \\ & = a^2 - 2ab + 2b^2 - b^2 \\ \\ & = a^2 - 2ab + b^2 \end{align*}\]

De to arealene må være like hverandre, som betyr at

\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

---

Oppgave 8

I denne oppgaven skal du begrunne konjugatsetningen geometrisk.

I Fig. 10.5 vises et kvadrat med et grønt område som er fargelagt.

Bruk arealberegninger av det grønne området til å begrunne konjugatsetningen.

Fig. 10.5 viser et kvadrat med et området som er fargelagt grønt.

Hint

Bestem arealet av det grønne området på to forskjellige måter.

---

Løsning

Vi regner ut arealet av det grønne området på to forskjellige måter:

1. Arealet av det “store” kvadratet minus det hvite “lille” kvadratet:

\[ \text{areal} = a^2 - b^2 \]

2. Arealet av de grønne områdene direkte:

\[\begin{align*} \text{areal} &= (a - b)\cdot (a - b) + (a - b)\cdot b + (a - b)\cdot b \\ \\ &= \textcolor{red}{(a - b)}\cdot (a - b) + \textcolor{red}{(a - b)}\cdot b + \textcolor{red}{(a - b)}\cdot b && \text{$(a - b)$ er felles faktor}\\ \\ &= \textcolor{red}{(a - b)}\left(a - b + b + b\right) && \text{faktoriserte ut $(a - b)$} \\ \\ &= (a - b)(a + b) \end{align*}\]

De to arealene må være like som betyr at

\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]