Kvadratsetningene

10.1. Kvadratsetningene#

Læringsmål

  • Kunne bruke kvadratsetningene til å skrive om \(f(x)\) fra standardformen til nullpunktsform, og motsatt.

  • Kunne forklare hva en matematisk identitet er, avgjøre om en sammenheng er en identitet, og gi konkrete eksempler på identiteter.

Vi har så langt sett på de tre ulike representasjonene til en andregradsfunksjon. Vi klarer å gå fra nullpunktsform eller fra ekstramalform til standardform, men vi har hittil ikke noen verktøy for å gå fra motsatt vei. Her skal vi starte prosessen med å bygge opp verktøykassa vår for å kunne gjøre dette ved å se på det vi kaller for kvadratsetningene.

Det finnes til sammen tre kvadratsetninger. Vi skal begrunne de to første geometrisk, og den siste algebraisk.

Kvadratsetningene

Gitt to vilkårlige tall \(a, b \in \mathbb{R}\), så gjelder følgende tre setninger:

1.Kvadratsetning

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

2.Kvadratsetning

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

Konjugatsetningen

\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)

Eksempel 1

Vi har møtt på andregradsuttrykk som passer rett inn i disse tre setningene. Her viser vi ett eksempel på hver av dem.

\[ (x + 3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 \]
\[ (x - 4)^2 = x^2 - 2\cdot x\cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16 \]
\[ (x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4 \]

Underveisoppgave 1

Bruk kvadratsetningene til å skrive om andregradsuttrykkene til standardform.

\[ (x + 5)^2 \]

Fasit

\[ x^2 + 10x + 25 \]
\[ (x - 2)^2 \]

Fasit

\[ x^2 - 4x + 4 \]
\[ (x + 4)(x - 4) \]

Fasit

\[ x^2 - 16 \]

Underveisoppgave 2

Bruk kvadratsetningene til å skrive om andregradsuttrykkene til nullpunktsform.

\[ x^2 - 2x + 1 \]
\[ x^2 + 12x + 36 \]
\[ x^2 - 49 \]

Matematiske identiteter#

Kvadratsetningene er eksempler på det vi kaller for en identitet. For eksempel vil

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

være sann uansett hvilke tall \(a\) og \(b\) er. Da sier vi at sammenhengen er en identitet fordi den er sann uansett hvilke verdier variablene har.

Eksempel 2

Bestem \(s\) slik at sammenhengen nedenfor blir en identitet:

\[ 9x^2 - 30x + 25 = (3x - s)^2. \]

Løsning

Vi kan bruke 2.kvadratsetningen til å utvide uttrykket på høyre side:

\[ (3x - s)^2 = (3x)^2 - 2\cdot 3x\cdot s + s^2 = 9x^2 - 6sx + s^2. \]

For at sammenhengen skal bli en identitet, må vi bestemme \(s\) slik at vi får likhet for disse to uttrykkene:

\[ 9x^2 - 30x + 25 = 9x^2 - 6sx + s^2 \]

Ved sammenlikning, kan vi se at dette må bety at

\[ -30 = -6s \quad \land \quad 25 = s^2 \]

Fra den første likningen, får vi

\[ -30 = -6s \quad \iff \quad s = 5. \]

Fra den andre likningen får vi at

\[ s^2 = 25 \quad \iff \quad s = \pm 5. \]

Men bare den positive løsningen gir oss en identitet, som betyr at vi må ha \(s = 5\).

Innhold