Oppgaver: Momentan vekstfart

Oppsummering

Momentan vekstfart

Den momentane vekstfarten til en andregradsfunksjon \(f\) i et punkt \(x\) er gitt ved

\[ f'(x) = \dfrac{f(x + 1) - f(x - 1)}{2} \]

Tangenter

En tangent er en rett linje som går gjennom et punkt \((x_1, f(x_1))\) på grafen til en funksjon \(f\) og har samme stigningstall som den momentane vekstfarten \(f'(x_1)\) i punktet.

Likningen for en tangent bestemmer vi med ettpunktsformelen

\[ y - y_1 = a(x - x_1) \]

der \(a = f'(x_1)\).

---

Oppgave 1

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 2x + 3. \]

Bestem \(f'(1)\).

Fasit

\[ f'(1) = 0. \]

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = (x - 1)(x + 2). \]

Bestem \(g'(0)\).

Fasit

\[ g'(0) = 1. \]

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = (x - 1)^2 - 4. \]

Bestem \(h'(-1)\).

Fasit

\[ h'(-1) = -4. \]

d

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = (x - 2)^2 + 1. \]

Bestem \(p'(2)\).

Fasit

\[ p'(2) = 0. \]

---

Oppgave 2

a

I Fig. 13.8 vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\) og en tangent i punktet \((1, f(1))\).

Bruk Fig. 13.8 til å bestemme \(f'(1)\).

Fig. 13.8 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\) og en tangent som går gjennom \((1, f(1))\).

Fasit

\[ f'(1) = 4. \]

b

I Fig. 13.9 vises grafen til en andregradsfunksjon \(g\) og en tangent i punktet \((-1, g(-1))\).

Bruk Fig. 13.9 til å bestemme \(g'(-1)\).

Fig. 13.9 viser grafen til en andregradsfunksjon \(g\) og en tangent som går gjennom \((-1, g(-1))\).

Fasit

\[ g'(-1) = -2. \]

c

I Fig. 13.10 vises grafen til en andregradsfunksjon \(h\) og en tangent i punktet \((-1, h(-1))\).

Bruk Fig. 13.10 til å bestemme \(h'(-1)\).

Fig. 13.10 viser grafen til en andregradsfunksjon \(g\) og en tangent som går gjennom \((-1, h(-1))\).

Fasit

\[ h'(-1) = 0. \]

d

I Fig. 13.11 vises grafen til en andregradsfunksjon \(p\) og en tangent i punktet \((2, p(2))\).

Bruk Fig. 13.11 til å bestemme \(p'(2)\).

Fig. 13.11 viser grafen til en andregradsfunksjon \(g\) og en tangent som går gjennom \((2, p(2))\).

Fasit

\[ p'(2) = 2. \]

---

Oppgave 3

a

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -x^2 + 3x. \]

Bestem likningen for tangenten til grafen til \(f\) i punktet \((1, f(1))\).

Fasit

\[ y = x + 1. \]

b

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = (x + 1)^2 - 2 \]

Bestem likningen for tangenten til grafen til \(g\) i punktet \((-1, g(-1))\).

Fasit

\[ y = -2. \]

c

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = (x + 1)(x - 5) \]

Bestem likningen for tangenten til grafen til \(h\) i punktet \((-2, h(-2))\).

Fasit

\[ y = -8x - 9. \]

d

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = -(x - 2)^2 + 1 \]

Bestem likningen for tangenten til grafen til \(p\) i punktet \((-3, p(-3))\).

Fasit

\[ y = 10x + 6. \]

---

Oppgave 4

a

I Fig. 13.12 vises en andregradsfunksjon \(f\) og en tangent til grafen til \(f\) som går gjennom \((3, f(3))\) og har likningen \(y = -4x + 13\).

Bestem \(f(x)\).

Fig. 13.12 viser en andregradsfunksjon \(f\) og en tangent som går gjennom \((3, f(3))\) med likningen \(y = -4x + 13\).

Fasit

\[ f(x) = -x^2 + 2x + 4. \]

b

I Fig. 13.13 vises en andregradsfunksjon \(g\) og to tangenter til grafen til \(g\).

Bestem \(g(x)\).

Fig. 13.13 viser en andregradsfunksjon \(g\), og to tangenter.

Fasit

\[ g(x) = (x + 2)(x + 4) = (x + 3)^2 - 1. \]

c

I Fig. 13.14 vises en andregradsfunksjon \(h\) og to tangenter til grafen til \(h\). Tangentene skjærer hverandre i \((3, 9)\). Den momentane vekstfarten til \(h\) i punktet \((4, h(4))\) er \(-4\).

Bestem \(h(x)\).

Fig. 13.14 viser en andregradsfunksjon \(h\), en tangent (rød) gjennom \((2, h(2))\) og en tangent (blå) gjennom \((4, h(4))\). Tangentene skjærer hverandre i \((3, 9)\). Den momentane vekstfarten til \(h\) i punktet \((4, h(4))\) er \(-4\).

Fasit

\[ h(x) = -(x - 2)^2 + 9. \]

---

Oppgave 5

a

I Fig. 13.15 vises en andregradsfunksjon \(f\) og en tangent til grafen til \(f\) gjennom et nullpunkt som har likningen \(y = -2x + 2\).

Bestem \(f(x)\).

Fig. 13.15 viser en andregradsfunksjon \(f\) og en tangent som går gjennom et punkt på grafen til \(f\) med likningen \(y = -2x + 2\).

Fasit

\[ f(x) = -\dfrac{1}{2}(x + 3)(x - 1) \]

Løsning

Vi starter med å få oversikt over hva vi vet om \(f\) – med andre ord, hva er kjent?

Hva er kjent?	Hva forteller det oss?
\(f\) er en andregradsfunksjon	\(f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + c \\ \\ a(x - x_1)(x - x_2) \\ \\ a(x - x_0)^2 + y_0 \end{cases}\)
Tangenten \(y = -2x + 2\)	Tangenten går gjennom et nullpunkt som betyr \(-2x + 2 = 0\) gir oss nullpunktet til \(f\). \(f'(x) = -2\) i dette punktet.
\(f\) går gjennom \((-3, 0)\)	\(x = -3\) er et nullpunkt.

Vi kan finne begge nullpunktene, så det er hensiktsmessig å velge nullpunktsform:

\[ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2). \]

Det ene nullpunktet er \(x = -3\) og det andre får vi ved å finne skjæringen til tangenten med \(x\)-aksen:

\[ -2x + 2 = 0 \quad \iff \quad 2x = 2 \quad \iff \quad x = 1. \]

Dette gir oss

\[ f(x) = a(x - (-3))(x - 1) = a(x + 3)(x - 1). \]

Til slutt kan vi bruke at \(f'(1) = -2\). Vi bruker at

\[ f'(1) = \dfrac{f(2) - f(0)}{2} \]

Vi trenger funksjonsverdiene i disse punktene:

\[\begin{align*} f(2) &= a(2 + 3)\cdot (2 - 1) = 5a \\ \\ f(0) &= a(0 + 3) \cdot (0 - 1) = -3a \end{align*}\]

Dermed har vi at

\[ f'(1) = \dfrac{f(2) - f(0)}{2} = \dfrac{5a - (-3a)}{2} = \dfrac{8a}{2} = 4a \quad \land \quad f'(1) = -2 \]

som betyr at

\[ 4a = -2 \quad \iff \quad a = -\dfrac{1}{2} \]

Altså er

\[ f(x) = -\dfrac{1}{2}(x + 3)(x - 1) \]

b

I Fig. 13.16 vises en andregradsfunksjon \(g\) og to tangenter til grafen til \(g\).

• Likningen til tangenten i \((0, g(0))\) er \(y = -4x + 3\).

Bestem \(g(x)\).

Fig. 13.16 viser en andregradsfunksjon \(g\) og to tangenter.

Fasit

\[ g(x) = (x - 2)^2 - 1 \]

Løsning

Vi starter med å få en oversikt over hva vi vet om \(g\) – hva er kjent?

Hva er kjent?	Hva forteller det oss?
\(g\) er en andregradsfunksjon	\(g(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + c \\ \\ a(x - x_1)(x - x_2) \\ \\ a(x - x_0)^2 + y_0 \end{cases}\)
Tangenten \(y = -4x + 3\)	Tangenten går gjennom grafen til \(g\) på \(y\)-aksen som betyr \(g(0) = -4\cdot 0 + 3 = 3\). \(g'(0) = -4\) siden stigningstallet til tangenten er \(-4\).
Tangenten i \((2, g(2))\) er en horisontal linje	Siden linja er horisontal, vet vi at tangenten går gjennom symmetrilinja til \(g\). Dermed er symmetrilinja \(x = 2\).

Vi kjenner til symmetrilinja til \(g\) som betyr at det er hensiktsmessig å bruke ekstremalformen til \(g(x)\):

\[ g(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 = a(x - 2)^2 + y_0. \]

Vi vet også at

• \(g(0) = 3\)

• \(g'(0) = -4\)

Det er lurest å bruke \(g'(0)\) først fordi vi da vil ende opp med å få en likning som kun inneholder \(a\). Vi vet at

\[ g'(0) = \dfrac{g(1) - g(-1)}{2} \]

Vi trenger funksjonsverdiene som gir oss

\[\begin{align*} g(1) &= a(1 - 2)^2 + y_0 = a + y_0 \\ \\ g(-1) &= a(-1 - 2)^2 + y_0 = 9a + y_0 \end{align*}\]

Dermed får vi

\[ g'(0) = \dfrac{g(1) - g(-1)}{2} = \dfrac{a + y_0 - (9a + y_0)}{2} = \dfrac{-8a}{2} = -4a \quad \land \quad g'(0) = -4 \]

Den logiske følgen er at

\[ -4a = -4 \quad \iff \quad a = 1 \]

Dermed er

\[ g(x) = (x - 2)^2 - 1 \]

c

I Fig. 13.17 vises en andregradsfunksjon \(h\) og to tangenter.

• Den ene tangenten går gjennom \((-3, h(-3))\) og har likningen \(y = -2x - 3\).

• Den andre tangenten har stigningstall \(2\).

• De to tangentene skjærer hverandre i \((-1, -1)\).

Bestem \(h(x)\).

Fig. 13.17 viser en andregradsfunksjon \(h\) og to tangenter.

Fasit

\[ h(x) = \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 + 1 \]

Løsning

Vi starter med å få en oversikt over hva vi vet om \(h\) – hva er kjent?

Hva er kjent?	Hva forteller det oss?
\(h\) er en andregradsfunksjon	\(h(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + c \\ \\ a(x - x_1)(x - x_2) \\ \\ a(x - x_0)^2 + y_0 \end{cases}\)
Tangenten \(y = -2x - 3\) går gjennom \((-3, h(-3))\)	\(h(-3) = -2 \cdot (-3) - 3 = 6 - 3 = 3\) \(h'(-3) = -2\) siden stigningstallet til tangenten er \(-2\).
Stigningstallet til den andre tangenten er \(2\)	Siden absoluttverdien til tangenten er den samme som den andre tangenten, så betyr det at: Tangenten går gjennom et punkt som har samme avstand fra symmetrilinja som den andre tangenten Tangentene skjærer hverandre i symmetrilinja som derfor er \(x = -1\). Tangenten går derfor gjennom \((1, h(1))\) siden avstanden fra symmetrilinja til den andre tangenten er \(|-3 - (-1)| = 2\).

Vi kjenner til symmetrilinja, som betyr at det er hensiktsmessig å bruke ekstremalformen til \(h(x)\):

\[ h(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 = a(x + 1)^2 + y_0. \]

Vi utnytter at \(h'(-3) = -2\) vil gi oss en likning der hvor vi kun har \(a\) som ukjent:

\[ h'(-3) = \dfrac{h(-2) - h(-4)}{2} \]

Vi trenger funksjonsverdiene:

\[\begin{align*} h(-2) &= a(-2 + 1)^2 + y_0 = a + y_0 \\ \\ h(-4) &= a(-4 + 1)^2 + y_0 = 9a + y_0 \end{align*}\]

Dermed får vi

\[ h'(-3) = \dfrac{a + y_0 - (9a + y_0)}{2} = \dfrac{-8a}{2} = -4a \quad \land \quad h'(-3) = -2 \]

Det gir oss

\[ -4a = -2 \quad \iff \quad a = \dfrac{1}{2} \]

Dermed er

\[ h(x) = \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 + y_0 \]

Til slutt bruker vi at \(h(-3) = 3\) som gir oss:

\[ h(-3) = \dfrac{1}{2}\cdot (-3 + 1)^2 + y_0 = 2 + y_0 \quad \land \quad h(-3) = 3 \]

som betyr at

\[ 2 + y_0 = 3 \quad \iff \quad y_0 = 1 \]

Altså er

\[ h(x) = \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 + 1 \]

---

Oppgave 6

I hver av oppgavene under, er det lurt å lage skisser tilsvarende de figurene du jobbet med i oppgave 4. Disse hjelper deg få en bedre forståelse av oppgaven ved å visualisere informasjonen som er oppgitt i oppgaven.

a

Om en andregradsfunksjon \(f\) får vi vite at:

• Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \(y = 2\).

• En tangent til grafen til \(f\) i punktet \((1, f(1))\) har likningen \(y = 3x - 1\).

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = 3x^2 - 3x + 2. \]

b

Om en andregradsfunksjon \(g\) får vi vite at:

• Den momentane vekstfarten til \(g\) i punktet \((-1, g(-1))\) er \(0\).

• En tangent til grafen til \(g\) i punktet \((0, g(0))\) har likningen \(y = 2x + 4\).

Bestem \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = (x + 1)^2 + 3. \]

c

Om en andregradsfunksjon \(h\) får vi vite at:

• Grafen til \(h\) skjærer \(x\)-aksen i \(x = 2\).

• En tangent til grafen til \(h\) i punktet \((1, h(1))\) har likningen \(y = -x + 2\).

Bestem \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = 3\left(x - \dfrac{1}{3}\right)(x - 2). \]

d

Om en andregradsfunksjon \(p\) får vi vite at:

• Symmetrilinja til \(p\) er \(x = -2\).

• En tangent til grafen til \(p\) i punktet \((-1, p(-1))\) har likningen \(y = -2x + 4\).

Bestem \(p(x)\).

Fasit

\[ p(x) = -(x + 2)^2 + 7. \]

---

Oppgave 7

Lova har lest seg opp på en strategi der man kan bruke tangenter til å finne nullpunkter til en andregradsfunksjon.

Hun har laget animasjonen under for å illustrere strategien sin.

a

Se på animasjonen og forklar strategien til Lova.

Fasit

Lova starter med gjetning på nullpunktet som hun kaller for \(x_1\). Deretter lager hun seg en tangent som går gjennom \((x_1, f(x_1))\). Hun finner nullpunktet til denne som hun kaller for \(x_2\). Så gjentar hun ved å lage en tangent gjennom \((x_2, f(x_2))\) og finner nullpunktet til denne tangenten. Slik gjentar hun flere ganger frem til hun er nærme et av nullpunktene til \(f\).

b

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 4. \]

Bruk strategien til Lova med \(x_1 = 1\) og regn ut \(x_2\) og \(x_3\).

Kommer du nærme et av nullpunktene til \(f\)?

Fasit

\[\begin{align*} x_2 &= \dfrac{5}{2}\\ \\ x_3 &= \dfrac{41}{20} = 2.05. \end{align*}\]

Et av nullpunktene til \(f\) er \(x = 2\), så vi kommer ganske nærme med disse to stegene.

c

Finn en generell formel for nullpunktet til en tangent som går gjennom et punkt \((x_1, y_1)\) med stigningstall a ved å ta utgangspunkt i ettpunktsformelen.

\[ y - y_1 = a(x - x_1). \]

Fasit

\[ x_\text{nullpunkt} = x_1 - \dfrac{y_1}{a}. \]

d

Du må bruke ulike verdier for startverdien \(x_1\) for å kunne finne begge nullpunktene til \(f\).

Fyll ut programmet under og bruk det til å finne begge nullpunktene til \(f\).

Fasit

def f(x):
    return x**2 - 4

x1 = 1

for n in range(5): # 5 runder
    y1 = f(x1)
    a = 0.5 * (f(x1 + 1) - f(x1 - 1))
    
    x_nullpunkt = x1 - y1 / a

    # Setter x1 = x_nullpunkt og "glemmer" forrige x1
    x_nullpunkt, x1 = x1, x_nullpunkt

print(f"{x1 = :.2f}") # Skriver ut nullpunktet med 2 desimaler.