Regning med parenteser

2.3. Regning med parenteser#

Læringsmål

  • Kunne forklare dem distributive loven

  • Kunne bruke den distributive loven til å utvide og faktorisere algebraiske uttrykk

Den distributive lov#

Den distributive loven lar oss både utvide og faktorisere algebraiske uttrykk.

Den distributive lov

For alle tall \(a\), \(b\) og \(c\) gjelder:

\[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]

Vi kan tolke dette som at når vi skal legge sammen \((b + c)\) eksemplarer av \(a\), kan vi først legge sammen \(b\) eksemplarer av \(a\) og deretter \(c\) eksemplarer av \(a\).

Vi kan begrunne den distributive loven ved arealberegninger med utgangspunkt i figuren nedenfor.

../../../../_images/distributiv_lov.svg

Fig. 2.1 viser en figur bestående av to rektangler. Det blå fargelagte rektangelet har sidelengder \(a\) og \(b\), og det rød fargelagte rektangelet har sidelengder \(a\) og \(c\).#

Arealet av hele figuren kan skrives på to måter:

  1. Arealet av hele figuren som er et rektangel med sidelengder \(a\) og \((b + c)\)

  2. Summen av arealene til de to mindre rektanglene.

Da får vi

Hele figuren

\[ \mathrm{areal} = a \cdot (b + c) \]

Summen av arealene

\[ \mathrm{areal} = a \cdot b + a \cdot c \]

De to arealene må være like som betyr at

\[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]

Dette er et eksempel på en identitet. En identitet er en likning som er sann for alle verdier av variablene i likningen. Uansett hvilke tall vi setter inn for \(a\), \(b\) og \(c\), vil likningen alltid stemme.

Vi kan bruke den distributive loven til å både utvide og faktorisere algebraiske uttrykk.

Utvide uttrykk#

Eksempel 2

Utvid uttrykket nedenfor

\[ 3x(2x + 4y) \]

Løsning

Vi bruker den distributive loven for å utvide uttrykket:

\[ 3x(2x + 4y) = 3x\cdot 2x + 3x\cdot 4y = 6x^2 + 12xy \]

Underveisoppgave 2

Utvid uttrykket nedenfor

\[ 2y(3x + 5) \]

Fasit

\[ 6xy + 10y \]

Løsning

Vi bruker den distributive loven for å utvide uttrykket:

\[ 2y(3x + 5) = 2y\cdot 3x + 2y\cdot 5 = 6xy + 10y \]

Faktorisering#

Eksempel 3

Faktoriser uttrykket nedenfor

\[ 6x^2 + 12xy \]

Løsning

Vi kan se at begge ledd har en felles faktor \(6x\). Vi kan bruke den distributive loven i motsatt retning for å faktorisere uttrykket:

\[ 6x^2 + 12xy = 6x \cdot x + 6x \cdot 2y = 6x(x + 2y) \]

Underveisoppgave 3

Faktoriser uttrykket nedenfor

\[ 4x^3 + 8xy \]

Fasit

\[ 4x(x^2 + 2y) \]

Løsning

Vi kan se at begge ledd har en felles faktor \(4x\). Vi kan bruke den distributive loven i motsatt retning for å faktorisere uttrykket:

\[ 4x^3 + 8xy = 4x \cdot x^2 + 4x \cdot 2y = 4x(x^2 + 2y) \]

Den doble distributive loven#

Den distributive loven kan også brukes når vi har to parenteser som skal ganges med hverandre. Vi kan kalle den for den dobbelt distributive loven.

Den doble distributive loven

For alle tall \(a\), \(b\), \(c\) og \(d\) gjelder:

\[ (a + b)(c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d \]

Underveisoppgave 4

I figuren nedenfor vises et stort rektangel med sidelengder \((a + b)\) og \((c + d)\). Figuren er bygget opp av fire mindre rektangler. Se figuren nedenfor.

../../../../_images/dobbel_distributiv_lov.svg

Bruk arealberegninger til å vise at den doble distributive loven stemmer.

Løsning

Det store rektangelet har sidelengder \((a + b)\) og \((c + d)\), så arealet av det store rektangelet er

\[ \mathrm{areal} = (a + b)\cdot (c + d) \]

Arealet av de fire mindre rektanglene er

\[ \mathrm{areal} = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d \]

Siden de to arealene er like, følger det at

\[ (a + b)\cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d \]

Eksempel 4

Utvid uttrykket nedenfor

\[ (2x + 3)(x + 4) \]

Løsning

\[\begin{align*} (2x + 3)(x + 4) &= 2x \cdot x + 2x \cdot 4 + 3 \cdot x + 3 \cdot 4 \\ \\ &= 2x^2 + 8x + 3x + 12 \\ \\ &= 2x^2 + 11x + 12 \end{align*}\]

Underveisoppgave 5

Utvid uttrykket nedenfor

\[ (3x + 2)(2x + 5) \]

Fasit

\[ 6x^2 + 19x + 10 \]

Løsning

\[\begin{align*} (3x + 2)(2x + 5) &= 3x \cdot 2x + 3x \cdot 5 + 2 \cdot 2x + 2 \cdot 5 \\ \\ &= 6x^2 + 15x + 4x + 10 \\ \\ &= 6x^2 + 19x + 10 \end{align*}\]
Innhold