13.2. Momentan vekstfart

Læringsmål

• Kunne beskrive sammenhengen mellom momentan vekstfart og tangenter til en graf.

• Kunne redegjøre for sammenhengen mellom momentan vekstfart og gjennomsnittlig vekstfart for andregradsfunksjoner, og bruke denne sammenhengen til å regne ut momentan vekstfart.

I forrige delkapittel innførte vi en ny størrelse – gjennomsnittlig vekstfart – som lar oss sette tall på hvor mye funksjonsverdien til en andregradsfunksjon \(f\) ender seg i gjennomsnitt dersom vi øker \(x\) med 1 i et intervall. Selv om dette gir oss noe informasjon om hvordan \(f(x)\) ender seg, kunne vi tenkt oss en størrelse som forteller oss hvor mye \(f(x)\) endrer seg nøyaktig i ett punkt når vi øker \(x\) med 1 – et slags mål på "hvor bratt er grafen til \(f\) i punktet.

Vi skal kalle dette for momentan vekstfart fordi den skal gi oss informasjon om hvor mye \(f(x)\) momentant (“akkurat i”) ett punkt når vi endrer på \(x\). Men hvordan skal vi definere momentan vekstfart så det fanger opp denne ideen?

Fra gjennomsnittlig vekstfart til momentan vekstfart

Momentan vekstfart skal vi tenke på som stigningstallet til en linje som “sneier” grafen til \(f\) i et bestemt punkt. Stigningstallet skal svaret til hvor “bratt” grafen er akkurat i dette punktet.

Momentan vekstfart

Den momentane vekstfarten til en andregradsfunksjon \(f\) er stigningstallet til en rett linje som går gjennom punktet \((x_1, f(x_1))\) på grafen til \(f\) og som “sneier” grafen til \(f\) i punktet. Linjen har samme stigningstall som hvor “bratt” grafen er momentant (“akkurat i”) det punktet.

Denne linjen kaller vi for en tangent og vi sier at linjen tangerer grafen til \(f\) i \((x_1, f(x_1))\). Se Fig. 13.3.

Fig. 13.3 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\) og en tangent som “sneier” grafen til \(f\) i punktet \((x_1, f(x_1))\). Stigningstallet til tangenten er den momentane vekstfarten til \(f\) i punktet.

---

Regne ut momentan vekstfart

Målet vårt nå er å finne en måte å regne ut momentan vekstfart for en andregradsfunksjon. Det er ikke opplagt hvordan vi skal finne stigningstallet til en linje som skal gå gjennom ett punkt på grafen til en andregradsfunksjon og så vidt “sneie” grafen.

Hvordan finner vi stigningstallet til tangenten (linjen) når vi kun har ett punkt å gå ut ifra?

Utforsk 1

Vi skal skrive momentan vekstfart som:

\[ f'(x) = \text{"momentan vekstfart i } x \text{"} \]

Under vises en animasjon som illustrerer sammenhengen mellom stigningstallet til noen sekanter (gjennomsnittlig vekstfart) og stigningstallet til noen tangenter (momentan vekstfart) for en andregradsfunksjon.

1. Se på animasjonen.

2. Prøv å finne en formel for den momentane vekstfarten \(f'(x)\) uttrykt med den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) i et passende intervall.

---

Se på oppsummeringen etter Utforsk 1!

Oppsummering: regne ut momentan vekstfart

Stigningstallet til en tangent i et punkt \((x, f(x))\) er det samme som stigningstallet til en sekant som går gjennom \((x - 1, f(x - 1))\) og \((x + 1, f(x + 1))\) på grafen til en andregradsfunksjon.

Den momentane vekstfarten \(f'(x)\) er derfor det samme som den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet \([x - 1, x + 1]\) der \(x\) er midtpunktet:

\[ f'(x) = \dfrac{f(x + 1) - f(x - 1)}{2} \]

---

Underveisoppgave 1

I Fig. 13.4 vises grafen til \(f(x) = (x - 1)(x + 4)\) og en sekant som går gjennom \((-1, f(-1))\) og \((1, f(1))\).

Bruk sekanten til å bestemme \(f'(0)\).

Fig. 13.4 viser grafen til \(f(x) = (x - 1)(x + 4)\) og en sekant som går gjennom \((-1, f(-1))\) og \((1, f(1))\).

Fasit

\[ f'(0) = 3 \]

Løsning

\[ f'(0) = \dfrac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} = \dfrac{0 - (-6)}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \]

---

Underveisoppgave 2

En andregradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 2x - 3. \]

Bestem \(f'(2)\).

Fasit

\[ f'(2) = 2 \]

Løsning

Vi regner ut gjennomsnittlig vekstfart i et intervall der \(x = 1\) er midtpunktet:

\[ f'(2) = \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} \]

Vi regner ut \(f(3)\) og \(f(1)\):

\[ f(3) = 3^2 - 2\cdot 3 - 3 = 0 \]

\[ f(1) = 1^2 - 2\cdot 1 - 3 = -4 \]

Vi setter dette inn i formelen for den gjennomsnittlige vekstfarten:

\[ f'(2) = \dfrac{0 - (-4)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \]

som er den momentane vekstfarten til \(f\) i \(x = 2\).

---

Likningen for en tangent

Nå som vi har en metode for å bestemme den momentane vekstfarten til en andregradsfunksjon, er vi også i stand til å bestemme likningen for en tangent til grafen til \(f\).

Eksempel 1

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x + 1)^2 - 4 \]

Bestem likningen for tangenten som går gjennom \((1, f(1))\).

Løsning

Vi bestemmer den momentane vekstfarten i \((1, f(1))\) siden dette gir oss stigningstallet til tangenten:

\[ f'(1) = \dfrac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \dfrac{f(2) - f(0)}{2} \]

Vi regner ut funksjonsverdiene:

\[\begin{align*} f(2) &= (2 + 1)^2 - 4 = 9 - 4 = 5, \\ \\ f(0) &= (0 + 1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3. \end{align*}\]

Dermed er den momentane vekstfarten (stigningstallet til tangenten) gitt ved:

\[ a = f'(1) = \dfrac{f(2) - f(0)}{2} = \dfrac{5 - (-3)}{2} = \dfrac{8}{2} = 4. \]

Vi bruker ettpunktsformelen for å bestemme likningen til tangenten i \((1, f(1))\), men da må vi først kjenne til \(y\)-koordinaten til punktet:

\[ f(1) = (1 + 1)^2 - 4 = 4 - 4 = 0. \]

Dermed blir likningen til tangenten:

\[\begin{align*} y - y_1 &= a(x - x_1) \\ \\ y - 0 &= 4(x - 1) \\ \\ y &= 4x - 4. \end{align*}\]

---

Underveisoppgave 3

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x + 1)(x - 3). \]

Bestem likningen for tangenten i punktet \((0, f(0))\).

Fasit

\[ y = -2x - 3 \]