Oppgaver: Algebraisk løsning

Oppgaver: Algebraisk løsning#

Oppgave 1

Ta quizen!

Oppgave 2

Løs ulikhetene ved hjelp av fortegnslinjene.

Løs \(f(x) > 0\).

../../../../_images/a7.svg

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus [-3, 1] \]

Løs \(f(x) \geq 0\).

../../../../_images/b6.svg

Fasit

\[ x \in [-2, 0] \]

Løs \(f(x) > 0\).

../../../../_images/c7.svg

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} \]

Løs \(f(x) \leq 0\).

../../../../_images/d3.svg

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \langle -5, -1 \rangle \]

Oppgave 3

En ulikhet er gitt ved

\[ x^2 - 4x \geq 0. \]

Bestem nullpunktsformen til \(f(x) = x^2 - 4x\).

Fasit

\[ f(x) = x(x - 4) \]

Tegn et fortegnsskjema for \(f(x)\).

Fasit

../../../../_images/oppgave_32.svg

Løs ulikheten.

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \langle 0, 4 \rangle \]

Oppgave 4

Når den ledende koeffisienten \(a \neq 1\), tar vi den med som en faktor i fortegnsskjema. Her møter du en ulikhet der du må gjøre dette.

En ulikhet er gitt ved

\[ -x^2 + x + 2 > 0 \]

Bestem nullpunktsformen til \(f(x) = -x^2 + x + 2\).

Fasit

\[ f(x) = -1 \cdot(x - 2)(x + 1) \]

Tegn et fortegnsskjema for \(f(x)\).

Fasit

../../../../_images/oppgave_41.svg

Løs ulikheten.

Fasit

\[ x \in \langle -1, 2 \rangle \]

Oppgave 5

Løs ulikhetene.

\[ x^2 - 4x + 3 \geq 0 \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, 1] \cup [3, \to \rangle \]
\[ x^2 - x - 12 < 0 \]

Fasit

\[ x \in \langle -3, 4 \rangle \]
\[ -x^2 - 2x + 3 \leq 0 \]

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \langle -3, 1 \rangle \]
\[ -3x^2 - 9x + 12 > 0 \]

Fasit

\[ x \in \langle -4, 1 \rangle \]

Oppgave 6

Løs ulikheten

\[ x^2 + 3x - 4 > 4x - 2 \]

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus [-1, 2] \]

Løs ulikheten

\[ -2x^2 + 5x + 1 \leq -3x + 7 \]

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \langle 1, 3 \rangle \]

Løs ulikheten

\[ -4x - 6 < -x^2 + x + 8 \]

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus [-2, 7] \]

Løs ulikheten

\[ -x^2 + x + 12 \geq -3x^2 - x + 52 \]

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \langle -5, 4 \rangle \]

Oppgave 7

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -x^2 + 3x + 4 \]

Løs ulikheten

\[ f(x) \geq 0 \]

Fasit

\[ x \in [-1, 4] \]

Løs ulikheten

\[ f(x) > 4 \]

Fasit

\[ x \in \langle 0, 3\rangle \]

Løs ulikheten

\[ f(x) \leq -6 \]

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \langle -2, 5 \rangle \]

Løs ulikheten

\[ f(x) < 6 \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, 1 \rangle \cup \langle 2, \to \rangle \]

Oppgave 8

Her skal du se på løsning av andregradsulikheter med CAS. Som vanlig kan du velge mellom Geogebra og Python.

Under vises et eksempel på løsning av en andregradsulikhet med CAS.

Eksempel

Løs ulikheten

\[ x^2 - 4x + 3 < 0 \]

Løs ulikheten

\[ x^2 - 4x + 3 < 0 \]

Løs ulikhetene med CAS.

\[ x^2 - 3x + 2 > 0 \]

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \left[1, 2\right] \]
\[ -x^2 + 4x - 3 \leq 0 \]

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \langle 1, 3 \rangle \]
\[ x^2 - 3x - 3 > -x + 4 \]

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \left[ 1 - 2\sqrt{2}, 1 + 2\sqrt{2} \right] \]
\[ -x^2 + 3x - 2 \geq -x + 1 \]

Fasit

\[ x \in [1, 3] \]

Løs ulikhetene med CAS.


\[ x^2 - 3x + 2 > 0 \]

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \left[1, 2\right] \]

Programkode:

1from casify import *
2
3løsning = løs("x**2 - 3*x + 2 > 0")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x < 1  ∨  2 < x
\[ -x^2 + 4x - 3 \leq 0 \]

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \langle 1, 3 \rangle \]

Programkode:

1from casify import *
2
3løsning = løs("-x**2 + 4*x - 3 <= 0")
4
5print(løsning)

Utskrift:

3 <= x  ∨  x <= 1
\[ x^2 - 3x - 3 > -x + 4 \]

Fasit

\[ x < 1 - 2\sqrt{2} \quad \lor \quad 1 + 2\sqrt{2} < x \]

Programkode:

1from casify import *
2
3løsning = løs("x**2 - 3*x - 3 > -x + 4")
4
5print(løsning)

Utskrift:

x < 1 - 2*sqrt(2)   ∨   1 + 2*sqrt(2) < x
\[ -x^2 + 3x - 2 \geq -x + 1 \]

Fasit

\[ x \in [1, 3] \]

Programkode:

1from casify import *
2
3løsning = løs("-x**2 + 3*x - 2 >= -x + 1")
4
5print(løsning)

Utskrift:

1 <= x   ∧   x <= 3

Oppgave 9

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = rx^2 - x + r \]

Bestem alle \(r \in \mathbb{R}\) slik at \(f\) bare har ett nullpunkt.

Fasit

\[ r = -\dfrac{1}{2} \quad \lor \quad r = \dfrac{1}{2} \]

Bestem alle \(r \in \mathbb{R}\) slik at \(f\) ikke har noen nullpunkter.

Fasit

\[ r \in \mathbb{R} \setminus \left\{ -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} \right\} \]