Oppgaver: Gjennomsnittlig vekstfart

Oppsummering

Gjennomsnittlig vekstfart

Den gjennomsnittlige vekstfarten til en funksjon \(f\) i intervallet \([x_1, x_2]\) er definert som stigningstallet til en rett linje som går gjennom punktene \((x_1, f(x_1))\) og \((x_2, f(x_2))\) på grafen til \(f\).

Linjen som går gjennom de to punktene kaller vi for en sekant. Se Fig. 13.7.

Fig. 13.7 viser grafen til en andregradsfunksjon (blå) og en sekant (rød) som går gjennom to punkter \((x_1, f(x_1))\) og \((x_2, f(x_2))\) og den tilsvarende formelen for gjennomsnittlig vekstfart i intervallet \([x_1, x_2]\).

Ettpunktsformelen

En linje med stigningstall \(a\) som går gjennom punktet \((x_1, y_1)\) kan skrives på formen

\[ y - y_1 = a(x - x_1). \]

---

Oppgave 1

a

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) i intervallet \([0, 3]\).

Fasit

\[ \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = 1 \]

b

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til \(g\) i intervallet \([-4, 0]\).

Fasit

\[ \dfrac{g(0) - g(-4)}{0 - (-4)} = 0 \]

c

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til \(h\) i intervallet \([-3, 1]\).

Fasit

\[ \dfrac{h(1) - h(-3)}{1 - (-3)} = - \dfrac{3}{2} \]

d

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til \(p\) i intervallet \([-1, 2]\).

Fasit

\[ \dfrac{p(2) - p(-1)}{2 - (-1)} = 1 \]

---

Oppgave 2

a

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) i intervallet \([1, 4]\).

\[ f(x) = x^2 + 3x - 2 \]

Fasit

\[ \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x} = 8 \]

b

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til \(g\) i intervallet \([-1, 1]\).

\[ g(x) = -x^2 + 4 \]

Fasit

\[ \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x} = 0 \]

c

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til \(h\) i intervallet \([-1, 1]\).

\[ h(x) = -(x + 1)(x + 2) \]

Fasit

\[ \dfrac{\Delta h(x)}{\Delta x} = -3 \]

d

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til \(p\) i intervallet \([-2, 0]\).

\[ p(x) = (x - 2)^2 - 3 \]

Fasit

\[ \dfrac{\Delta p(x)}{\Delta x} = -6 \]

---

Oppgave 3

En andregradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = (x + 2)^2 - 1. \]

a

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) i intervallet \([-2, 1]\).

Fasit

\[ \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x} = 3 \]

b

Bestem stigningstallet til sekanten som går gjennom punktene \((-2, f(-2))\) og \((1, f(1))\).

Fasit

Stigningstallet til sekanten er det samme som den gjennomsnittlig vekstfarten til \(f\) i intervallet \([-2, 1]\). Dermed er stigningstallet

\[ a = 3 \]

c

Bestem likningen for sekanten.

Fasit

\[ y = 3x + 5. \]

Oppgave 4

a

Bestem likningen for sekanten gjennom punktene \((1, f(1))\) og \((3, f(3))\) på grafen til

\[ f(x) = x^2 - 2x + 1. \]

Fasit

\[ y = 2x - 2 \]

Løsning

Vi regner ut stigningstallet til sekanten:

\[ a = \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} \]

der funksjonsverdiene er

\[\begin{align*} f(1) &= 1^2 - 2 \cdot 1 + 1 = 0 \\ \\ f(3) &= 3^2 - 2 \cdot 3 + 1 = 4 \end{align*}\]

Dermed er stigningstallet

\[ a = \dfrac{f(3) - f(1)}{2} = \dfrac{4 - 0}{2} = 2. \]

Så bruker vi ettpunktsformelen med ett av punktene. Vi velger \((1, f(1)) = (1, 0)\) som gir

\[\begin{align*} y - y_1 &= a(x - x_1) \\ \\ y - 0 &= 2(x - 1) \\ \\ y &= 2x - 2. \end{align*}\]

b

Bestem likningen for sekanten gjennom punktene \((-2, g(-2))\) og \((1, g(1))\) på grafen til

\[ g(x) = (x - 1)(x + 3) \]

Fasit

\[ y = x - 1 \]

c

Bestem likningen for sekanten gjennom punktene \((0, h(0))\) og \((2, h(2))\) på grafen til

\[ h(x) = -(x + 2)^2 + 3 \]

Fasit

\[ y = -6x - 1 \]

Løsning

Stigningstallet til sekanten er gitt ved:

\[ a = \dfrac{h(2) - h(0)}{2 - 0} \]

Vi regner ut funksjonsverdiene først:

\[\begin{align*} h(2) &= -(2 + 2)^2 + 3 = -4^2 + 3 = -16 + 3 = -13 \\ \\ h(0) &= -(0 + 2)^2 + 3 = -2^2 + 3 = -4 + 3 = -1 \end{align*}\]

Stigningstallet til sekanten blir derfor

\[\begin{align*} a = \dfrac{h(2) - h(0)}{2} = \dfrac{-13 + 1}{2} = \dfrac{-12}{2} = -6. \end{align*}\]

Så bruker vi ettpunktsformelen med et av punktene. Velger \((0, h(0)) = (0, -1)\) som gir

\[\begin{align*} y - y_1 &= a(x - x_1) \\ \\ y - (-1) &= -6(x - 0) \\ \\ y + 1 &= -6x \\ \\ y &= -6x - 1. \end{align*}\]

d

Bestem likningen for sekanten gjennom punktene \((-2, p(-2))\) og \((0, p(0))\) på grafen til

\[ p(x) = -x^2 + 16 \]

Fasit

\[ y = 2x + 16. \]

Oppgave 5

a

En andregradsfunksjon \(f\) har følgende egenskaper:

• Nullpunkter i \(x = 1\) og \(x = 3\).

• Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet \([-1, 1]\) er \(-4\).

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = -(x - 1)(x - 3) \]

Løsning

Vi vet at nullpunktene til \(f\) er \(x = 1 \, \lor \, x = 3\) som betyr at vi kan skrive \(f(x)\) på nullpunktsform:

\[ f(x) = a(x - 1)(x - 3). \]

At den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet \([-1, 1]\) er \(-4\) betyr at

\[ \dfrac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} = -4 \]

Vi setter inn \(f(x)\) og regner ut:

\[\begin{align*} f(1) &= a(1 - 1)(1 - 3) = 0 \\ \\ f(-1) &= a(-1 - 1)(-1 - 3) = a\cdot (-2)\cdot (-4) = 8a \end{align*}\]

Dermed vet vi at

\[ \dfrac{8a}{2} = -4 \quad \iff \quad a = -1. \]

Dermed er

\[ f(x) = -(x - 1)(x - 3). \]

b

En andregradsfunksjon \(g\) har følgende egenskaper:

• Et bunnpunkt i \((2, 3)\).

• Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet \([1, 4]\) er \(2\).

Bestem \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = 2(x - 2)^2 + 3 \]

c

En andregradsfunksjon \(h\) har følgende egenskaper:

• Et nullpunkt i \(x = -1\).

• Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet \([-2, 6]\) er \(0\).

• \(h(x) \in [-6, \to\rangle\).

Bestem \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = \dfrac{2}{3}(x - 2)^2 - 6 \]

Løsning

At den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet \([-2, 6]\) er \(0\) betyr at symmetrilinja til \(h\) er midtpunktet i intervallet som gir

\[ x_0 = \dfrac{-2 + 6}{2} = \dfrac{4}{2} = 2. \]

At verdimengden til \(h\) er \(V_h = [-6, \to\rangle\) betyr at den minste verdien til \(h(x)\) er \(-6\). Dette må skje i ekstremalpunktet som betyr at

\[ h(x) = a(x - 2)^2 - 6. \]

Vi kan bruke at \(x = -1\) er et nullpunkt for å bestemme \(a\), som gir oss

\[\begin{align*} h(-1) &= a(-1 - 2)^2 - 6 = 0 \\ \\ 0 &= a\cdot (-3)^2 - 6 \\ \\ 0 &= 9a - 6 \\ \\ 6 &= 9a \\ \\ \dfrac{6}{9} &= a \\ \\ \dfrac{2}{3} &= a \end{align*}\]

Altså er

\[ h(x) = \dfrac{2}{3}(x - 2)^2 - 6. \]

d

En andregradsfunksjon \(p\) har følgende egenskaper:

• Symmetrilinje i \(x = -1\).

• Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet \([0, 2]\) er \(-2\).

• Et nullpunkt i \(x = 2\).

Bestem \(p(x)\).

Fasit

\[ p(x) = -\dfrac{1}{2}(x + 1)^2 + \dfrac{9}{2} \]

---

Oppgave 6

Lova syns ikke \(abc\)-formelen var så grei å bruke for å finne nullpunkter, så hun har lest seg opp på en annen strategi der hun kan bruke sekanter for å finne nullpunktene til en andregradsfunksjon.

Hun har laget en animasjon for å illustrere strategien sin.

a

Se på animasjonen og forklar strategien til Lova. Hva vil skje hvis hun gjentar strategien mange ganger?

Fasit

Lova starter med to punkter \(x_1\) og \(x_2\). Deretter regner hun ut en sekant gjennom \((x_1, f(x_1))\) og \((x_2, f(x_2))\). Hun finner nullpunktet til sekanten som hun kaller for \(x_3\). Deretter lager hun en ny sekant ved å bruke \(x_2\) og \(x_3\). Så finner hun nullpunktet til denne sekanten som hun kaller for \(x_4\). Dette gjentar hun flere ganger.

Hvis hun gjentar dette mange ganger, vil hun få en \(x_n\) for et stort tall \(n\) som vil være veldig nærme et av nullpunktene til andregradsfunksjonen.

b

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 4 \]

Bruk strategien til Lova i to steg til å regne ut \(x_3\) og \(x_4\). Start med \(x_1 = 1\) og \(x_2 = 5\).

Kommer du nærme ett av nullpunktene til \(f\)?

Fasit

\[\begin{align*} x_3 &= \dfrac{3}{2} = 1.5 \\ \\ x_4 &= \dfrac{23}{13} \approx 1.77 \end{align*}\]

c

Lova ønsker seg en generell algoritme for å finne nullpunktene med strategien og har funnet at man trenger en formel for nullpunktet til en sekant som er skrevet med ettpunktsformelen

\[ y - y_1 = a(x - x_1) \]

der \(a\) er stigningstallet til sekanten som går gjennom et punkt \((x_1, y_1)\).

Finn en formel for nullpunktet til sekanten.

Fasit

\[ x_\text{nullpunkt} = x_1 - \dfrac{y_1}{a} \]

d

Under vises et interaktivt kodevindu som må fylles ut.

Fyll ut koden slik at det bruker strategien til Lova for å finne et av nullpunktene til \(f(x) = x^2 - 4\).

Fasit

def f(x):
    return x**2 - 4

x1 = 1
x2 = 5

antall_ganger = 10   # Hvor mange sekanter du skal lage sekanter
for n in range(antall_ganger):
    y1 = f(x1)
    y2 = f(x2)

    if x2 - x1 != 0: # Sjekk at vi ikke deler på null
        a = (y2 - y1) / (x2 - x1)
    else:
        break # Hvis x2 - x1 = 0, så stopper vi så vi ikke deler på null

    x_nullpunkt = x1 - y1 / a


    x1, x2 = x2, x_nullpunkt # Setter x1 = x2 og x2 = x_nullpunkt

print(x_nullpunkt) # Skriver ut nullpunktet til slutt