13.1. Gjennomsnittlig vekstfart

Læringsmål

• Kunne forklare og regne ut gjennomsnittlig vekstfart.

• Kunne gi en praktisk tolkning av gjennomsnittlig vekstfart og knytte denne størrelsen til sekanter.

• Kunne bestemme likningen til en sekant.

Når vi jobbet med lineære funksjoner, hadde vi en tydelig måte å tolke hvor mye \(f(x)\) endrer seg når vi endrer på \(x\) – gjennom stigningstallet til en rett linje.

Repetisjon: stigningstallet til en lineær funksjon

Stigningstallet til en lineær funksjon \(f\) som går gjennom to punkter \((x_1, y_1)\) og \((x_2, y_2)\) er gitt ved

\[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Dette tallet forteller oss hvor mye \(f(x)\) endrer seg når vi øker \(x\) med 1.

For en andregradsfunksjon har ikke koeffisientene en slik betydning, men funksjonsverdien til en andregradsfunksjon endrer seg jo opplagt når vi endrer på verdien til \(x\).

For å kunne sette tall på slike endringer, kan vi finne på en ny størrelse som gir oss informasjon om hvor mye funksjonsverdien endrer seg når vi endrer på \(x\). Én slik størrelse er gjennomsnittlig vekstfart. Denne størrelsen tar (skamløst) direkte inspirasjon fra stigningstallet til en rett linje:

Gjennomsnittlig vekstfart

Den gjennomsnittlige vekstfarten til en funksjon \(f\) i intervallet \([x_1, x_2]\) er definert som stigningstallet til en rett linje som går gjennom punktene \((x_1, f(x_1))\) og \((x_2, f(x_2))\) på grafen til \(f\).

Linjen som går gjennom de to punktene kaller vi for en sekant. Se Fig. 13.1.

Fig. 13.1 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\) og en sekant som går gjennom to punkter på grafen til \(f\). Den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) i intervallet \([x_1, x_2]\) er lik stigningstallet til sekanten.

---

Eksempel 1

I Fig. 13.2 vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\) og en sekant \(s\) som går gjennom punktene \((-1, f(-1))\) og \((2, f(2))\) på grafen til \(f\).

Bruk sekanten til å bestemme den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) i intervallet \([-1, 2]\).

Fig. 13.2 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\) og en sekant \(s\) som går gjennom to punkter på grafen til \(f\).

Løsning

Den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) i intervallet \([-1, 2]\) svarer til stigningtallet til sekanten siden denne linja går gjennom punktene \((-1, f(-1))\) og \((2, f(2))\):

\[ \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \dfrac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \dfrac{3 - (-3)}{2 - (-1)} = \dfrac{6}{3} = 2. \]

---

Eksempel 2

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 2x + 1. \]

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet \([1, 3]\).

Løsning

Intervallet er \([a, b] = [1, 3]\). Vi regner ut funksjonsverdiene i de to endepunktene på intervallet:

\[\begin{align*} f(1) &= 1^2 - 2\cdot 1 + 1 = 0, \\ \\ f(3) &= 3^2 - 2\cdot 3 + 1 = 4. \end{align*}\]

Så bruker vi definisjonen av gjennomsnittlig vekstfart:

\[ \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{4 - 0}{3 - 1} = \dfrac{4}{2} = 2. \]

---

Underveisoppgave 1

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -x^2 + 3x - 4 \]

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet \([-2, 3]\).

Fasit

\[ \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x} = 2 \]

Løsning

Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet \([-2, 3]\) er gitt ved

\[ \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \dfrac{f(3) - f(-2)}{3 - (-2)} = \dfrac{f(3) - f(-2)}{5} \]

Vi regner ut funksjonsverdiene:

\[\begin{align*} f(3) &= -3^2 + 3\cdot 3 - 4 = -9 + 9 - 4 = -4, \\ \\ f(-2) &= -(-2)^2 + 3\cdot (-2) - 4 = -4 - 6 - 4 = -14. \end{align*}\]

som gir

\[ \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \dfrac{f(3) - f(-2)}{5} = \dfrac{-4 - (-14)}{5} = \dfrac{10}{5} = 2. \]

---

Likningen til en sekant

Repetisjon: ettpunktsformelen

En rett linje med stigningstall \(a\) som går gjennom punktet \((x_1, y_1)\) har likningen

\[ y - y_1 = a(x - x_1) \]

---

Eksempel 3

En rett linje går gjennom punktene \((1, f(1))\) og \((3, f(3))\) på en andregradsfunksjon gitt ved

\[ f(x) = (x + 1)^2 - 2. \]

Bestem likningen til linja.

Løsning

Den rette linja har samme stigningstall som den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) i intervallet \([1, 3]\).

Vi har at

\[\begin{align*} f(1) &= (1 + 1)^2 - 2 = 2, \\ \\ f(3) &= (3 + 1)^2 - 2 = 14. \end{align*}\]

Den gjennomsnittlige vekstfarten – som svarer til stigningdstallet til den rette linja – er gitt ved

\[ a = \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{14 - 2}{3 - 1} = \dfrac{12}{2} = 6. \]

Vi bruker ettpunktsformelen med punktet \((1, 2)\) for å finne likningen til linja:

\[\begin{align*} y - y_1 &= a(x - x_1) \\ \\ y - 2 &= 6(x - 1) \\ \\ y &= 6x - 4. \end{align*}\]

---

Underveisoppgave 2

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 2x - 3. \]

Bestem likningen for sekanten som går gjennom \((-1, f(-1))\) og \((2, f(2))\).

Fasit

\[ y = -x - 1. \]

Løsning

Sekanten går gjennom punktene \((-1, f(-1))\) og \((2, f(2))\) som gir stigningstallet

\[ a = \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \dfrac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \dfrac{f(2) - f(-1)}{3} \]

Vi regner ut funksjonsverdiene:

\[\begin{align*} f(2) &= 2^2 - 2\cdot 2 - 3 = -3, \\ \\ f(-1) &= (-1)^2 - 2\cdot (-1) - 3 = 0. \end{align*}\]

Dermed har sekanten stigningstallet

\[ a = \dfrac{f(2) - f(-1)}{3} = \dfrac{-3 - 0}{3} = -1. \]

Vi bruker ettpunktsformelen for å bestemme likningen med punktet \((-1, f(-1)) = (-1, 0)\):

\[\begin{align*} y - y_1 &= a(x - x_1) \\ \\ y - 0 &= -1(x - (-1)) \\ \\ y &= -(x + 1) \\ \\ y &= -x - 1. \end{align*}\]