Oppgaver: Omgjøring av andregradsuttrykk

Oppgave 1

Bruk fullstendige kvadraters metode til å skrive om funksjonsuttrykkene til ekstremalform.

a

\[ f(x) = x^2 + 4x + 1 \]

Fasit

\[ f(x) = (x + 2)^2 - 3 \]

b

\[ g(x) = x^2 - 2x + 3 \]

Fasit

\[ g(x) = (x - 1)^2 + 2 \]

c

\[ h(x) = x^2 - 6x + 12 \]

Fasit

\[ h(x) = (x - 3)^2 + 3 \]

d

\[ r(x) = x^2 + 8x - 4 \]

Fasit

\[ r(x) = (x + 4)^2 - 20 \]

---

Oppgave 2

Bruk konjugatsetningen til å skrive om andregradsuttrykkene til nullpunktsform

a

\[ f(x) = (x + 1)^2 - 9 \]

Fasit

\[ f(x) = (x + 4)(x - 2) \]

b

\[ g(x) = (x - 2)^2 - 16 \]

Fasit

\[ g(x) = (x + 2)(x - 6) \]

c

\[ h(x) = (x + 4)^2 - 4 \]

Fasit

\[ h(x) = (x + 6)(x + 2) \]

d

\[ r(x) = (x - 3)^2 - 1 \]

Fasit

\[ r(x) = (x - 2)(x - 4) \]

---

Oppgave 3

En andregradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = x^2 + 4x + 3 \]

a

Bestem \(f(x)\) på ekstremalform.

Fasit

\[ f(x) = (x + 2)^2 - 1 \]

b

Hva er ekstremalpunktet til \(f\)?

Er ekstremalpunktet et toppunkt eller bunnpunkt?

Fasit

Ekstremalpunktet er \((-2, -1)\) og er et bunnpunkt siden den ledende koeffisienten er positiv.

c

Bestem \(f(x)\) på nullpunktsform.

Fasit

\[ f(x) = (x + 3)(x + 1) \]

d

Hvor skjærer grafen til \(f\) gjennom \(x\)-aksen?

Fasit

\[ x = -3 \quad \text{og} \quad x = -1 \]

---

Oppgave 4

Bestem ekstremalpunktene til funksjonene.

Bestem om ekstremalpunktene er toppunkt eller bunnpunkt.

a

\[ f(x) = x^2 - 4x - 5 \]

Fasit

\[ (2, -9) \quad (\text{bunnpunkt}) \]

b

\[ g(x) = -x^2 + 4x - 3 \]

Hint

Her bør du faktorisere ut den ledende koeffisienten fra \(g(x)\):

\[ g(x) = -1\cdot (x^2 - 4x + 3) \]

og deretter bruke fullstendig kvadraters metode på uttrykket i parentesen. Dette er grunnen til at vi satt \(a = 1\) i teoridelen!

Fasit

\[ (2, 1) \quad (\text{toppunkt}) \]

c

\[ h(x) = x^2 + x + 2 \]

Fasit

\[ \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{7}{4}\right) \quad (\text{bunnpunkt}) \]

d

\[ r(x) = -x^2 - 4x + 1 \]

Fasit

\[ (-2, 5) \quad (\text{toppunkt}) \]

---

Oppgave 5

Finn nullpunktene til andregradsfunksjonene.

a

\[ f(x) = x^2 - 4x - 5 \]

Fasit

\[ x = -1 \quad \lor \quad x = 5 \]

b

\[ g(x) = x^2 - x - 6 \]

Fasit

\[ x = -2 \quad \lor \quad x = 3 \]

c

\[ h(x) = x^2 - x - 2 \]

Fasit

\[ x = -1 \quad \lor \quad x = 2 \]

d

\[ r(x) = x^2 + 3x - 4 \]

Fasit

\[ x = -4 \quad \lor \quad x = 1 \]

---

Oppgave 6

Bestem antall nullpunkter for hver andregradsfunksjon.

a

\[ f(x) = (x - 1)^2 - 4 \]

Fasit

To nullpunkter

b

\[ g(x) = (x + 1)^2 \]

Fasit

Ett nullpunkt

c

\[ h(x) = x^2 - 4 \]

Fasit

To nullpunkter

d

\[ p(x) = x^2 + 2x + 8 \]

Fasit

Ingen nullpunkter

---

Oppgave 7

Bestem hvor grafene til andregradsfunksjonene skjærer \(x\)-aksen.

a

\[ f(x) = -x^2 + 4x - 3 \]

Fasit

\[ x = 1 \quad \lor \quad x = 3 \]

b

\[ g(x) = x^2 - x - 12 \]

Fasit

\[ x = -3 \quad \lor \quad x = 4 \]

c

\[ h(x) = x^2 - 5x + 6 \]

Fasit

\[ x = 2 \quad \lor \quad x = 3 \]

d

\[ p(x) = x^2 + 2x - 8 \]

Fasit

\[ x = -4 \quad \lor \quad x = 2 \]

---

Oppgave 8

Bestem koeffisientene slik at sammenhengene blir identiteter.

Påminnelse: identitet

En identitet er en likning som er sann for alle verdier av variabelene i likningen.

a

\[ (x + 2)(x - 4) = (x - a)^2 + b \]

Fasit

\[ a = 1 \quad \land \quad b = -9 \]

b

\[ (x + 1)(x - 3) = (x - r)^2 + k \]

Fasit

\[ r = 1 \quad \land \quad k = -4 \]

c

\[ (x - 1)(x - a) = \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 + b \]

Fasit

\[ a = 2 \quad \land \quad b = -\frac{1}{4} \]

d

\[ (x + 2)(x - p) = (x - 1)^2 + s \]

Fasit

\[ p = 4 \quad \land \quad s = -9 \]

Oppgave 9

Bestem koeffisientene slik at sammenhengene blir identiteter.

Her kan det være mer enn én løsning for koeffisientene!

a

\[ (x + 2)^2 - 4 = (x - r)(x + s) \]

Fasit

\[ r = 0 \, \land \, s = 4 \quad \lor \quad r = -4 \, \land \, s = 0 \]

b

\[ (x - 1)^2 - 9 = (x + a)(x - b) \]

Fasit

\[ a = 2 \, \land \, b = 4 \quad \lor \quad a = -4 \, \land \, b = -2 \]

c

\[ (x - k)^2 - 16 = (x + 2)(x - r) \]

Fasit

\[ k = -6 \, \land \, r = -10 \quad \lor \quad k = 2 \, \land \, r = 6 \]

d

\[ (x - p)^2 - 9 = (x - 1)(x + s) \]

Fasit

\[ p = -2 \, \land \, s = -7 \quad \lor \quad p = -2 \, \land \, s = 5 \]