Oppgaver: den deriverte

Oppsummering: den deriverte

Formel

For en andregradsfunksjon \(f(x) = ax^2 + bx + c\) er den deriverte gitt ved:

Symmetrilinje og den deriverte

Den deriverte er null i symmetrilinja til en andregradsfunksjon:

Ettpunktsformelen

En linje som går gjennom et punkt \((x_1, y_1)\) med stigningstall \(a\) har likningen

\[ y - y_1 = a(x - x_1) \]

---

Oppgave 1

Bestem den deriverte til funksjonene.

a

\[ f(x) = x^2 - x + 1 \]

Fasit

\[ f'(x) = 2x - 1 \]

b

\[ g(x) = -x^2 + 3x - 2 \]

Fasit

\[ g'(x) = -2x + 3 \]

c

\[ h(x) = 2x^2 + 1 \]

Fasit

\[ h'(x) = 4x \]

d

\[ p(x) = 3x^2 - 2x \]

Fasit

\[ p'(x) = 6x - 2 \]

---

Oppgave 2

Ta quizen!

---

Oppgave 3

Tegn en fortegnslinje for den deriverte til funksjonene.

a

Fasit

b

Fasit

c

Fasit

d

Fasit

---

Oppgave 4

Ta quizen!

---

Oppgave 5

a

Den deriverte til en andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f'(x) = 2x - 1. \]

Bestem symmetrilinja til \(f\).

Fasit

\[ x = \dfrac{1}{2} \]

b

Den deriverte til en andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g'(x) = -2x + 3. \]

Bestem symmetrilinja til \(g\).

Fasit

\[ x = \dfrac{3}{2} \]

c

Den deriverte til en andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h'(x) = -3x + 2. \]

Bestem symmetrilinja til \(h\).

Fasit

\[ x = \dfrac{2}{3} \]

d

Den deriverte til en andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p'(x) = 2x + 5 \]

Bestem symmetrilinja til \(p\).

Fasit

\[ x = -\dfrac{5}{2} \]

---

Oppgave 6

a

En andregradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 3x + 1. \]

Bestem likningen for tangenten i \((1, f(1))\).

Fasit

\[ y = -x \]

b

En andregradsfunksjon er gitt ved

\[ g(x) = -x^2 + 2x + 3. \]

Bestem likningen for tangenten i \((-1, g(-1))\).

Fasit

\[ y = 4x + 4 \]

c

En andregradsfunksjon er gitt ved

\[ h(x) = 2x^2 - x + 1. \]

Bestem likningen for tangenten i \((2, h(2))\).

Fasit

\[ y = 7x - 7 \]

d

En andregradsfunksjon er gitt ved

\[ p(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2 \]

Bestem likningen for tangenten i \((4, p(4))\).

Fasit

\[ y = 4x - 10 \]

---

Oppgave 7

a

Om en andregradsfunksjon \(f\) får vi vite at:

• En tangent for \(f\) i punktet \(P(-1, 2)\) har stigningstall \(0\).

• Grafen til \(f\) går gjennom punktet \((2, 1)\).

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = -\dfrac{1}{9}(x + 1)^2 + 2 \]

b

Om en andregradsfunksjon \(g\) får vi vite at:

• Symmetrilinja til \(g\) er \(x = 1\).

• En tangent gjennom punktet \((2, 3)\) på grafen til \(g\) har likningen \(y = -x + 5\).

Bestem \(g'(x)\).

Fasit

\[ g'(x) = -x + 1 \]

c

En andregradsfunksjon

\[ h(x) = -3x^2 + ax + 2 \]

har et toppunkt i \((1, h(1))\).

Bestem \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = -3x^2 + 6x + 2 \]

d

Om en andregradsfunksjon \(p\) får vi vite at:

• En tangent i punktet \((-1, p(-1))\) har stigningstall \(-1\).

• En tangent i punktet \((1, p(1))\) har likningen \(y = x + 4\).

Bestem \(p(x)\).

Fasit

\[ p(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{7}{2}. \]

---

Oppgave 8

a

Grafen til den deriverte \(f'\) til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i Fig. 13.18.

Punktet \(P(1, 2)\) ligger på grafen til \(f\).

Bestem likningen for tangenten til grafen til \(f\) i punktet \(P\).

Fig. 13.18 viser grafen til \(f'\).

Fasit

\[ y = -x + 3 \]

b

Grafen til den deriverte \(g'\) til en andregradsfunksjon \(g\) er vist i Fig. 13.19.

Punktet \(Q(-1, 1)\) ligger på grafen til \(g\).

Bestem likningen for tangenten til grafen til \(g\) i punktet \(Q\).

Fig. 13.19 viser grafen til \(g'\).

Fasit

\[ y = 4x + 5 \]

c

Grafen til den deriverte \(h'\) til en andregradsfunksjon \(h\) er vist i Fig. 13.20.

Punktet \(R(1, -3)\) ligger på grafen til \(h\).

Bestem likningen for tangenten til grafen til \(h\) i punktet \(R\).

Fig. 13.20 viser grafen til \(h'\).

Fasit

\[ y = -2x - 1 \]

d

Grafen til den deriverte \(p'\) til en andregradsfunksjon \(p\) er vist i Fig. 13.21.

Punktet \(S(-1, -2)\) ligger på grafen til \(p\).

Bestem likningen for tangenten til grafen til \(p\) i punktet \(S\).

Fig. 13.21 viser grafen til \(p'\).

Fasit

\[ y = 3x + 1 \]

---

Oppgave 9

I Fig. 13.22 vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\) og to tangenter i punktene \((1, f(1))\) og \((3, f(3))\).

• Tangenten i \((1, f(1))\) har stigningstall \(1\).

• Tangenten i \((3, f(3))\) har stigningstall \(-3\).

Fig. 13.22 viser grafen til en andregradsfunksjon \(f\) og tangenter i punktene \((1, f(1))\) og \((3, f(3))\).

a

Bestem \(f'(x)\).

Fasit

\[ f'(x) = -2x + 3 \]

b

Tangentene skjærer hverandre i \((2, 4)\).

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = -x^2 + 3x + 1 \]

---

Oppgave 10

En andregradsfunksjon \(f\) oppfyller sammenhengen

\[ f'(m) = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \]

for et tall \(m \in \langle x_1, x_2 \rangle\).

Bestem \(m\) slik at sammenhengen blir en identitet.

Gi en geometrisk tolkning av svaret.

Fasit

\[ m = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \]

\(m\) er midtpunktet på intervallet \(\langle x_1, x_2 \rangle\), eller sagt mer geometrisk: midtpunktet på linjestykke fra \(x_1\) til \(x_2\).

---