12.1. Grafisk løsning

Læringsmål

• Kunne uttrykke mengden av flere deler av tallinja ved hjelp av ulikheter og intervaller.

• Kunne løse andregradsulikheter grafisk.

Prinsippet bak løsning av andregradsulikheter grafisk er tilsvarende som de vi har brukt når vi jobbet med lineære ulikheter. Vi trenger imidlertid noen flere verktøy for å kunne uttrykke løsningene på en god måte. Derfor blir det først litt mer mengdelære her.

Mengdelære

Vi trenger litt mer teori om mengder for å kunne uttrykke løsningene til ulikheter på en god måte.

Eksempel 1

Med andregradsulikheter får vi ofte flere deler av tallinja som en løsning. Disse delene er ikke sammenhengende slik at vi får “hull” i tallinja vi må “ta bort”. Da trenger vi skrivemåter for å uttrykke oss på en god måte.

Under vises tre forskjellige mengder på tallinja som vi uttrykker med ulik notasjon (skrivemåter). Vi kan uttrykke mengden av \(x\)-verdier ved hjelp av ulikheter eller intervaller.

Legg merke til at vi bruker symbolet “\(\cup\)” når vi vil si “eller” i forbindelse med intervaller, mens vi bruker symbolet “\(\lor\)” når vi vil si “eller” i forbindelse med ulikheter.

Mengde 1

På tallinja i Fig. 12.1 har vi markert to områder.

Her tenker vi oss at endepunktene ikke er inkludert her.

Ulikhet

\[ x < - 1 \, \lor \, x > 1 \]

Intervall

\[ x \in \langle \gets, -1 \rangle \textcolor{red}{\cup} \langle 1, \to \rangle \]

Fig. 12.1 viser to områder på tallinja som er fargelagt med rød farge.

Mengde 2

På tallinja i Fig. 12.2 har vi markert to områder.

Her tenker vi oss at endepunktene er inkludert.

Ulikhet

\[ x \leq -3 \, \lor \, x \geq 2 \]

Intervall

\[ x \in \langle \gets, -3] \textcolor{red}{\cup} [2, \to \rangle \]

Fig. 12.2 viser to områder på tallinja som er fargelagt med rød farge.

Mengde 3

På tallinja i Fig. 12.3 har vi markert to områder.

Her tenker vi oss at endepunktet \(x = 1\) er inkludert, men \(x = 4\) er ikke inkludert.

Ulikhet

\[ x \leq 1 \, \lor \, x > 4 \]

Intervall

\[ x \in \langle \gets, 1] \textcolor{red}{\cup} \langle 4, \to \rangle \]

Fig. 12.3 viser to områder på tallinja som er fargelagt med rød farge.

Vi har også en alternativ og effektiv skrivemåte hvor vi tenker oss at vi tar hele tallinja og “kutter” vekk en del av den. Eksempelet under vises hvordan dette kan skrives:

Eksempel 2

Vi bruker intervallene fra Eksempel 1 som utgangspunkt.

Vi bruker symbolet “\(\setminus\)” for å si “uten”. Dette “kutter” vekk en del av tallinja.

Mengde 1

Alternativ 1

\[ x \in \langle \gets, -1 \rangle \cup \langle 1, \to \rangle \]

Alternativ 2

\[ x \in \mathbb{R} \setminus [-1, 1] \]

Fig. 12.4 viser to områder på tallinja som er fargelagt med rød farge.

Mengde 2

Alternativ 1

\[ x \in \langle \gets, -3] \cup [2, \to \rangle \]

Alternativ 2

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \langle-3, 2\rangle \]

Fig. 12.5 viser to områder på tallinja som er fargelagt med rød farge.

Mengde 3

Alternativ 1

\[ x \in \langle \gets, 1] \cup \langle 4, \to \rangle \]

Alternativ 2

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \langle -1, 4] \]

Fig. 12.6 viser to områder på tallinja som er fargelagt med rød farge.

---

Underveisoppgave 1

Ulikheter

Vi starter med å se på noen typiske eksempler i Utforsk 1.

Utforsk 1

Under vises grafisk løsning av tre andregradsulikheter.

Eksempel 1

En ulikhet er gitt ved

\[ x^2 - 4x + 3 > 0. \]

Fig. 12.7 viser grafen til \(f(x) = x^2 - 4x + 3\). Vi er ute etter alle verdier for \(x\) der grafen til \(f\) ligger over \(x\)-aksen.

Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \(x = 1\) og \(x = 3\). Vi kan se at \(f(x) > 0\) når \(x < 1\) og \(x > 3\). Derfor er løsningen til ulikheten

\[ x < 1 \, \lor \, x > 3 \quad \iff \quad x \in \langle \gets, 1 \rangle \cup \langle 3, \to \rangle \]

Fig. 12.7 viser grafen til \(f(x) = x^2 - 4x + 3\). Løsningsmengden der grafen til \(f\) ligger over \(x\)-aksen er fargelagt med rød farge.

Eksempel 2

En ulikhet er gitt ved

\[ -2x^2 + 4x + 4 > -2. \]

Fig. 12.8 viser grafene til \(f(x) = -2x^2 + 4x + 4\) og linja \(y = -2\).

Vi er ute etter alle verdier for \(x\) der grafen til \(f\) ligger over linja \(y = -2\). Dette kan vi se er tilfelle når \(x < 0\) og \(x > 2\). Derfor er løsningen til ulikheten

\[ x < 0 \, \land \, x > 2 \quad \iff \quad x \in \langle 0, 2 \rangle. \]

Fig. 12.8 viser grafen til \(f(x) = -2x^2 + 4x + 4\) og linja \(y = -2\). Løsningsmengden til \(f(x) > -2\) er markert i rødt på \(x\)-aksen.

Eksempel 3

En ulikhet er gitt ved

\[ x^2 + 5x + 1 \leq -x - 4. \]

Fig. 12.9 viser grafene til \(f(x) = x^2 + 5x + 1\) og \(g(x) = -x - 4\).

Vi er ute etter alle verdier for \(x\) der grafen til \(f\) ligger under eller på grafen til \(g\). Vi kan se at dette er tilfelle når \(x \geq -5\) og \(x \leq -1\). Derfor er løsningen til ulikheten

\[ x \geq -5 \, \land \, x \leq -1 \quad \iff \quad x \in [-5, -1]. \]

Fig. 12.9 viser grafen til \(f(x) = x^2 + 5x + 1\) og \(g(x) = -x - 4\). Løsningsmengden til \(f(x) \leq g(x)\) er markert i rødt på \(x\)-aksen.

---

Underveisoppgave 2

I Fig. 12.10 vises grafene til

\[ f(x) = x^2 + x + 1 \quad \text{og} \quad g(x) = -x + 4. \]

Fig. 12.10 Viser grafene til \(f(x) = x^2 + x + 1\) og \(g(x) = -x + 4\).

Bruk figuren til å løse ulikheten

\[ f(x) > g(x). \]

Fasit

Løsningsmengde

\[ x \in \mathbb{R} \setminus [-3, 1] \quad \iff \quad x \in \langle \gets, -3 \rangle \cup \langle 1, \to \rangle \]

Ulikheter

\[ x < -3 \, \lor \, x > 1 \]