10.2. Omgjøring av andregradsuttrykk

Læringsmål

• Kunne bruke fullstendig kvadraters metode til å skrive om et andregradsuttrykk fra standardform til ekstremalform.

• Kunne bruke konjugatsetningen til å skrive om et andregradsuttrykk fra ekstremalform til nullpunktsform.

• Kunne avgjøre hvor mange nullpunkter en andregradsfunksjon har ved hjelp av algebraiske metoder.

Vi har så langt utforsket ulike måter å skrive andregradsfunksjoner på og hvordan de gir oss ulik informasjon om en andregradsfunksjon. Så langt har vi klart å komme oss fra nullpunktsform og ekstremalform til standardform – men motsatt vei har vi ikke hatt noen strategi for å gjøre. Her skal vi utvikle verktøy for å gå motsatt vei! Se Fig. 10.1.

Fig. 10.1 viser en oversikt over strategiene vi skal bruke for å gå fra standardform til ekstremalform og nullpunktsform.

Repetisjon: representasjoner av andregradsfunksjoner

Til nå har vi sett at ulike måter å skrive en andregradsfunksjon på gir oss ulik informasjon om funksjonen:

Standardform

• \(a\) forteller om grafen er konveks \(\smile\) eller konkav \(\frown\).

• \(b\) gir forskyvningen til grafen langs \(x\)-aksen.

• \(c\) forteller hvor grafen skjærer \(y\)-aksen.

Nullpunktsform

• \(a\) forteller om grafen er konveks \(\smile\) eller konkav \(\frown\).

• \(x_1\) og \(x_2\) forteller hvor grafen skjærer \(x\)-aksen.

Ekstremalform

• \(a\) forteller om grafen er konveks \(\smile\) eller konkav \(\frown\).

• Gir oss ekstremalpunktet \((x_1, y_1)\).

• Gir oss symmetrilinja \(x = x_1\).

Fra standardform til ekstremalform – fullstendige kvadraters metode

Fullstendige kvadraters metode lar oss skrive om et andregradsuttrykk på formen

\[ x^2 + bx + c \]

fra standardform til ekstremalform. Det er ikke et uhell at \(a = 1\) i uttrykket – men det kommer vi tilbake til i oppgavene.

Den fungerer i to steg:

1. Legg til og trekk fra et tall så du får inn en kvadratsetning.

2. Faktoriser med kvadratsetningen.

Utforsk 1

Under følger tre eksempler på bruk av fullstendig kvadraters metode. Les gjennom eksemplene nøye og prøv å svare på følgende spørsmål:

1. Hvilket tall er det man legger til og trekker fra?

2. Kan du gi en beskrivelse av metoden?

3. Kan du finne en generell formel for hvordan metoden funker med \(x^2 + bx + c\)?

Se i oppsummeringsboksen når du har lest eksemplene og prøvd å komme fram til en generell beskrivelse av metoden.

Eksempel 1

\[\begin{align*} x^2 + 6x + 8 &= x^2 + 6x + \textcolor{red}{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2} - \textcolor{red}{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2} + 8 && \text{Legger til $0$}\\ \\ &= \underbrace{x^2 + 6x + \textcolor{red}{3^2}}_{\text{1.kvadratsetning}} - \textcolor{red}{3^2} + 8 && \text{Forenkler}\\ \\ &= (x + 3)^2 - 9 + 8 && \text{Faktoriserte med 1.kvadratsetning}\\ \\ &= (x + 3)^2 - 1. \end{align*}\]

Eksempel 2

\[\begin{align*} x^2 - 4x + 1 &= x^2 - 4x + \textcolor{red}{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2} - \textcolor{red}{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2} + 1 && \text{Legger til $0$}\\ \\ &= \underbrace{x^2 - 4x + \textcolor{red}{2^2}}_{\text{2.kvadratsetning}} - \textcolor{red}{2^2} + 1 && \text{Forenkler}\\ \\ &= (x - 2)^2 - 4 + 1 && \text{Faktoriserte med 2.kvadratsetning}\\ \\ &= (x - 2)^2 - 3. \end{align*}\]

Eksempel 3

\[\begin{align*} x^2 + 3x - 2 &= x^2 + 3x + \textcolor{red}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2} - \textcolor{red}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2} - 2 && \text{Legger til $0$}\\ \\ &= \underbrace{x^2 + 3x + \textcolor{red}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}}_{\text{1.kvadratsetning}} - \textcolor{red}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2} - 2 && \text{Forenkler}\\ \\ &= (x + 3/2)^2 - 9/4 - 2 && \text{Faktoriserte med 1.kvadratsetning}\\ \\ &= (x + 3/2)^2 - 17/4. \end{align*}\]

Underveisoppgave 1

Bruk fullstendige kvadraters metode på andregradsuttrykkene under.

a

\[ x^2 + 2x + 3 \]

Fasit

\[ (x + 1)^2 + 2 \]

b

\[ x^2 - 10x + 3 \]

Fasit

\[ (x - 5)^2 - 22 \]

c

\[ x^2 + 12x + 17 \]

Fasit

\[ (x + 6)^2 - 19 \]

Før du leser oppsummeringsboksen under, bør du prøve på underveisoppgave 1!

---

Sjekk meg⚠️ – Oppsummering: Fullstendige kvadraters metode

For et andregradsuttrykk \(x^2 + bx + c\) kan vi skrive skrive om uttrykket til ekstremalform med følgende omskrivning:

\[ x^2 + \textcolor{red}{b}x + c = \underbrace{x^2 + \textcolor{red}{b}x + \left(\dfrac{\textcolor{red}{b}}{2}\right)^2}_{\text{kvadratsetning}} - \left(\dfrac{\textcolor{red}{b}}{2}\right)^2 + c = \left(x + \dfrac{b}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 + c. \]

Med andre ord, vi gjør følgende:

1. Legger til og trekker fra \(\left(\dfrac{b}{2}\right)^2\).

2. Faktoriserer med 1. eller 2.kvadratsetning.

Fra ekstremalform til nullpunktsform

Nå vet vi hvordan vi kan bruke fullstendige kvadraters metode til å gå fra standardform til ekstremalform. Det neste steget i prosessen er å gå fra ekstremalform til nullpunktsform – dette oppnår vi ved å bruke konjugatsetningen.

Repetisjon: Konjugatsetningen

For to tall \(a, b \in \mathbb{R}\) har vi at

\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2. \]

Vi tar et eksempel.

Eksempel 1

En andregradsfunksjon er skrevet på ekstremalform:

\[ f(x) = (x + 3)^2 - 4 \]

Bestem nullpunktsformen til \(f(x)\).

Løsning

Vi bruker konjugatsetningen:

\[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]

til å skrive om uttrykket:

\[\begin{align*} f(x) &= (x + 3)^2 - 4 \\ \\ &= \underbrace{(x + 3)^2}_{\displaystyle a^2} - \underbrace{2^2}_{\displaystyle b^2} && \text{Setter $a = x + 3$ og $b = 2$}\\ \\ &= \underbrace{(x + 3 + 2)}_{\displaystyle (a + b)} \cdot \underbrace{(x + 3 - 2)}_{\displaystyle (a - b)} && \text{Konjugatsetningen}\\ \\ &= (x + 5)(x + 1). \end{align*}\]

Altså er nullpunktsformen til \(f(x)\) gitt ved

\[ f(x) = (x + 5)(x + 1). \]

---

Underveisoppgave 2

Skriv om \(f(x)\) fra ekstremalformen

\[ f(x) = (x - 2)^2 - 9 \]

til nullpunktsform.

Fasit

\[ f(x) = (x + 1)(x - 5) \]

Løsning

\[\begin{align*} f(x) &= (x - 2)^2 - 9 \\ \\ &= \underbrace{(x - 2)^2}_{\displaystyle a^2} - \underbrace{3^2}_{\displaystyle b^2} && \text{Setter $a = x - 2$ og $b = 3$}\\ \\ &= \underbrace{(x - 2 + 3)}_{\displaystyle (a + b)} \cdot \underbrace{(x - 2 - 3)}_{\displaystyle (a - b)} && \text{Konjugatsetningen}\\ \\ &= (x + 1)(x - 5). \end{align*}\]

---

Antall nullpunkter

Vi kan bruke strategiene vi har sett på her til å bestemme om hvor mange nullpunkter en andregradsfunksjon har. Vi tar et eksempel med to, én og ingen løsninger.

Eksempel 3

To løsninger

En andregradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = x^2 + 2x - 3 \]

Vi bruker først fullstendig kvadraters metode til å bestemme ekstremalformen:

\[\begin{align*} f(x) &= x^2 + 2x - 3 \\ \\ &= x^2 + 2x + 1 - 1 - 3 && \text{Legger til og trekker fra $1$}\\ \\ &= (x + 1)^2 - 4 && \text{Faktoriserte med 1.kvadratsetning}. \end{align*}\]

Så prøver vi å bruke konjugatsetningen:

\[\begin{align*} f(x) &= (x + 1)^2 - 4 \\ \\ &= (x + 1)^2 - 2^2\\ \\ &= (x + 1 + 2)(x + 1 - 2) && \text{Konjugatsetningen}\\ \\ &= (x + 3)(x - 1). \end{align*}\]

Altså ser vi at \(f\) har nullpunktene

\[ x = -3 \quad \lor \quad x = 1. \]

Én løsning

En andregradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = x^2 + 4x + 4 \]

Vi bruker først fullstendig kvadraters metode til å bestemme ekstremalformen:

\[\begin{align*} f(x) &= x^2 + 4x + 4 \\ \\ &= x^2 + 4x + 2^2 - 2^2 + 4 && \text{Legger til og trekker fra $4^2$}\\ \\ &= (x + 4)^2 && \text{Faktoriserte med 1.kvadratsetning}. \end{align*}\]

Prøver vi å bruke konjugatsetingen her, får vi

\[\begin{align*} f(x) &= (x + 4)^2 \\ \\ &= (x + 4)^2 - 0^2 \\ \\ &= (x + 4 + 0)(x + 4 - 0) && \text{Konjugatsetningen}\\ \\ &= (x + 4)^2. \end{align*}\]

Dermed har \(f\) bare \(x = -4\) som nullpunkt.

Ingen løsninger

En andregradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = x^2 + 2x + 3 \]

Vi bruker først fullstendig kvadraters metode til å bestemme ekstremalformen:

\[\begin{align*} f(x) &= x^2 + 2x + 3 \\ \\ &= x^2 + 2x + 1 - 1 + 3 && \text{Legger til og trekker fra $1$}\\ \\ &= (x + 1)^2 + 2 && \text{Faktoriserte med 1.kvadratsetning}. \end{align*}\]

Her kan vi ikke skrive om uttrykket ved hjelp av konjugatsetningen \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\) siden konstantleddet er positivt. Dermed har \(f\) ingen nullpunkter.

---

Underveisoppgave 2

For hver av andregradsfunksjonene under, bestem hvor mange nullpunkter funksjonen har.

a

\[ f(x) = x^2 + 6x + 9 \]

Fasit

Ett nullpunkt.

b

\[ g(x) = x^2 - 4x - 5 \]

Fasit

To nullpunkter.

c

\[ h(x) = x^2 - 4x + 5 \]

Fasit

Ingen nullpunkter.