12.2. Algebraisk løsning

Læringsmål

• Kunne løse andregradsulikheter algebraisk ved hjelp av fortegnslinjer.

Fortegnslinjer

Et viktig verktøy vi bruker når vi løser andregradsulikheter algebraisk, er fortegnslinjer.

Farger?

Merk at fortegnslinjene ikke må ha farger. Vi kommer til å bruke farger i illustrasjonene, men de kan også tegnes i svart-hvitt som

• positiv \(=\)

• negativ \(=\)

Repetisjon: Fortegnslinjer

En fortegnslinje er en linje som viser fortegnet til en funksjon på et intervall. Vi bruker heltrukne og stiplede linjer for å skille mellom fortegnene:

• \(=\) Positivt fortegn

• \(=\) Negativt fortegn

Fig. 12.11 viser en fortegnslinje for en andregradsfunksjon \(f\) med to nullpunkter \(x_1\) og \(x_2\). De røde heltrukne linjene svarer til positivt fortegn. De blå stiplede linjene svarer til negativt fortegn.

Vi tar et eksempel:

Eksempel 1: fortegnslinjer

I Fig. 12.12 vises grafen til

\[ f(x) = x^2 - 4x \]

Fig. 12.12 viser grafen til \(f(x) = x^2 - 4x\)

Tegn fortegnslinjen til \(f(x)\).

Løsning

Vi markerer nullpunktene til grafen på en tallinje, og så tegner vi stiplede linjer der \(f(x)\) er negativ (grafen er under \(x\)-aksen) og heltrukne linjer der \(f(x)\) er positiv (grafen er over \(x\)-aksen).

Fig. 12.13 viser fortegnslinjen til \(f(x) = x^2 - 4x\). Grafen til \(f\) ligger over \(x\)-aksen når \(x < 0\) eller \(x > 4\), og under \(x\)-aksen når \(0 < x < 4\).

---

Din tur!

Underveisoppgave 1

Ta quizen!

Algebraisk løsning av andregradsulikheter

Når vi løser andregradsulikheter, får vi bruk for å kunne løse andregradslikninger som en del av løsningsprosessen.

Algebraisk løsning av andregradsulikheter

Andregradsulikheter løses algebraisk slik:

Steg 1: Få null på høyre side

Få alle ledd over på én side av ulikheten slik at vi får en andregradsfunksjon på formen

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

på venstre side av ulikheten og null på høyre side.

Steg 2: Nullpunktsfaktoriser \(f(x)\)

Finn nullpunktene og skriv \(f(x)\) på nullpunktsform

\[ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2), \]

Steg 3: Fortegnsskjema

Vi tegner et fortegnsskjema for \(f(x)\) med en fortegnslinje for hver lineær faktor i \(f(x)\). Fortegnslinja til \(f(x)\) får vi ved å ta produktet av fortegnslinjene til de lineære faktorene. Deretter leser vi av løsningen.

Vi går løs på et eksempel

Eksempel 2: algebraisk løsning

Bestem løsningsmengden til ulikheten

\[ x^2 - x - 6 > 0. \]

Løsning

Vi finner nullpunktene til \(f\):

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 6}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}, \]

som gir

\[ x = -2 \quad \lor \quad x = 3. \]

Dermed kan vi skrive

\[ f(x) = (x - (-2))(x - 3) = (x + 2)(x - 3). \]

Først tegner vi fortegnsskjema ved å tegne inn en fortegnslinje for hver lineære faktor i \(f(x)\). Deretter ganger vi fortegnene sammen for å få fortegnslinja til \(f(x)\). Se Fig. 12.14.

Fig. 12.14 viser fortegnsskjema til \(f(x) = x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)\). Vi tegner en fortegnslinje for hver lineære faktor. For å få fortegnslinja til \(f(x)\), ganger vi fortegnene til de lineære faktorene sammen.

Fra fortegnsskjema, kan vi se at \(f(x) > 0\) når \(x < -2\) eller \(x > 3\). Løsningen kan derfor skrives som

\[ x \in \mathbb{R} \setminus [-2, 3] \]

---

Din tur!

Underveisoppgave 2

En ulikhet er gitt ved

\[ x^2 - 4x - 5 < 0. \]

a

Bestem nullpunktsformen til

\[ f(x) = x^2 - 4x - 5. \]

Fasit

\[ f(x) = (x + 1)(x - 5) \]

b

Tegn et fortegnsskjema for \(f(x)\) ved hjelp av de lineære faktorene.

Fasit

c

Bestem løsningen av ulikheten.

Fasit

\[ x \in \langle -1, 5 \rangle. \]