Oppgaver:
\(abc\)-formelen

Oppsummering

\(abc\)-formelen

For en andregradslikning som er skrevet på formen

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

er løsningen

\[ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Antall løsninger og diskriminanten

For en andregradslikning som er skrevet på formen

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

kan vi bestemme antall løsninger ved å regne ut diskriminanten

\[ D = b^2 - 4ac \]

Antall løsninger	Diskriminant \(D\)
To løsninger	\(D > 0\)
Én løsning	\(D = 0\)
Ingen løsninger	\(D < 0\)

---

Oppgave 1

Løs likningene ved hjelp av $abc$-formelen. En likning på formen $ax^2 + bx + c = 0$ har løsningen $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

a

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

Fasit

\[ x = 2 \or x = 3 \]

b

\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]

Fasit

\[ x \in \{-1, 4\} \]

c

\[ x^2 - x - 6 = 0 \]

Fasit

\[ x = -2 \or x = 3 \]

d

\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]

Fasit

\[ x = -1 \or x = 5 \]

---

Oppgave 2

Løs likningene ved hjelp av $abc$-formelen. En likning på formen $ax^2 + bx + c = 0$ har løsningen $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

a

\[ 2x^2 - 5x + 2 = 0 \]

Fasit

\[ x = \dfrac{1}{2} \or x = 2 \]

b

\[ 3x^2 - 7x + 2 = 0 \]

Fasit

\[ x \in \left\{\dfrac{1}{3}, 2\right\} \]

c

\[ -x^2 + 9x + 12 = 0 \]

Fasit

\[ x = -1 \or x = 4 \]

d

\[ \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2} = 0 \]

Fasit

\[ x = -\dfrac{1}{2} \or x = 2 \]

---

Oppgave 3

Løs likningene med \(abc\)-formelen.

a

\[ -x^2 + 2x - 2 = 0 \]

Fasit

Ingen løsning.

b

\[ 2x^2 + 3x - 2 = 0 \]

Fasit

\[ x = -2 \, \lor \, x = \dfrac{1}{2} \]

c

\[ x^2 + 8x + 16 = 0 \]

Fasit

\[ x = -4 \]

d

\[ 8x^2 - 4x + 2 = 0 \]

Fasit

Ingen løsning.

---

Oppgave 4

Løs likningene med \(abc\)-formelen.

a

\[ x^2 + x + 1 = x + 5 \]

Fasit

\[ x = -2 \, \lor \, x = 2 \]

b

\[ x^2 + x - 3 = -2x + 1 \]

Fasit

\[ x = -4 \, \lor \, x = 1 \]

c

\[ -x^2 + x + 3 = 3x - 1 \]

Fasit

\[ x = -2 \, \lor \, x = 1 \]

---

Oppgave 5

For hver av likningene, bestem hvor mange løsninger likningen har ved hjelp av diskriminanten. Diskriminanten $D$ er uttrykket i kvadratroten i $abc$-formelen: $$D = b^2 - 4ac.$$ Hvis $D$ er positiv, har likningen to løsninger. Hvis $D = 0$, har likningen én løsning. Hvis $D$ er negativ, har likningen ingen løsning. .

a

\[ x^2 - 8x + 16 = 0 \]

Fasit

Én løsning siden \(D = 0\).

b

\[ x^2 - 10x + 24 = 0 \]

Fasit

To løsninger siden \(D > 0\).

c

\[ 4x^2 + 5x + 8 = 0 \]

Fasit

Ingen løsning siden \(D < 0\).

---

Oppgave 6

Bestem nullpunktene til funksjonene ved \(abc\)-formelen.

a

\[ f(x) = x^2 - 2x - 4 \]

Fasit

\[ x = 1 - \sqrt{5} \, \lor \, x = 1 + \sqrt{5} \]

b

\[ g(x) = -x^2 + 4x - 3 \]

Fasit

\[ x = 1 \, \lor \, x = 3 \]

c

\[ h(x) = -x^2 + 4 \]

Fasit

\[ x = -2 \, \lor \, x = 2 \]

d

\[ p(x) = 2x^2 - 4x + 2 \]

Fasit

\[ x = 1 \]

---

Oppgave 6

Bestem \(k\) slik at andregradslikningen

\[ x^2 + kx + 6 = 0 \]

har én løsning.

Fasit

\[ k = \pm 2\sqrt{6} \]

---

Oppgave 7

Et likningssystem er gitt ved

\[\begin{align*} x^2 + 2y - y &= 1, \\ \\ x + y &= k. \end{align*}\]

Bestem \(k\) slik at likningssysmemet har én løsning.

Hva er løsningen til dette likningssystemet?

Fasit

\[ k = 2 \quad \text{og} \quad x = 1 \, \land \, y = 0. \]

---

Oppgave 8

En likning er gitt ved

\[ x^4 - x^2 - 6 = 0. \]

Løs likningen.

Hint

Gjør et variabelskifte der du setter \(u = x^2\) og likningen, og løs likningen for \(u\) først.

Fasit

\[ x = -\sqrt{3} \, \lor \, x = \sqrt{3}. \]

---

Oppgave 9

Et tall er gitt ved

\[ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots }}}} \]

Regn ut tallet.

Hint

Sett

\[ x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots }}}} \]

Hva er da \(x^2\)?

Fasit

\[ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots }}}} = 2 \]

---

Oppgave 10

Lova har skrevet et program for å løse andregradslikninger med \(abc\)-formelen, men har rotet det til og har fått kodelinjene i tilfeldig rekkefølge.