11.1. \(abc\)-formelen

Læringsmål

• Kunne løse andregradslikninger ved å skrive om et andregradsuttrykk fra standardform til nullpunktsform.

• Kunne løse andregradslikninger med \(abc\)-formelen.

• Kunne bestemme antall løsninger for en andregradslikning.

Andregradslikninger

En andregradslikning er en likning som alltid kan skrives på formen

\[ ax^2 + bx + c = 0. \]

Vi kan gjenkjenne dette som å bestemme nullpunktene til en andregradsfunksjon \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Vi har allerede sett på hvordan vi kan skrive om et andregradsuttrykk fra standardform til ekstremalform og deretter til nullpunktsform – dette er første steg mot å bestemme den helt generelle løsningen av en andregradslikning.

Vi tar et eksempel.

Eksempel 1: andregradslikning

Løs likningen

\[ x^2 + 3x - 5 = 4x - 3 \]

Løsning

Vi starter med å samle alle leddene på én side av likningen:

\[\begin{align*} x^2 + 3x - 5 &= 4x - 3 \\ \\ x^2 + 3x - 5 \textcolor{red}{- 4x + 3} &= 4x - 3 \textcolor{red}{- 4x + 3} \\ \\ x^2 - x - 2 &= 0. \end{align*}\]

Løsningen av likningen er derfor det samme som å nullpunktene til \(f(x) = x^2 - x - 2\). Hvis vi skriver om \(f(x)\) til nullpunktsform, har vi derfor effektivt løst likningen.

Så skriver vi om andregradsuttrykket i likningen i følgende steg:

1. Fra standardform til ekstremalform med fullstendige kvadraters metode

2. Fra ekstremalform til nullpunktsform med konjugatsetningen

\[\begin{align*} x^2 - x - 2 &= \underbrace{x^2 - x + \textcolor{red}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2}}_{\text{2.kvadratsetning}} - \textcolor{red}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2} - 2 \\ \\ &= \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4} - 2 && \text{Brukte 2.kvadratsetning}\\ \\ &= \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4} \\ \\ &= \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 && \text{$a = x - \dfrac{1}{2}$ og $b = \dfrac{3}{2}$}\\ \\ &= \left(x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}\right)\left(x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}\right) && \text{Brukte konjugatsetning} \\ \\ &= \left(x + 1\right)\left(x - 2\right). \end{align*}\]

Nå har vi uttrykket på nullpunktsform som gir oss løsningene til likningen:

\[ x = -1 \quad \lor \quad x = 2 \]

På dette tidspunktet har vi gjort nok forberedelser til å kunne komme fram til en helt generell løsning for alle andregradslikninger når de er skrevet på formen

\[ ax^2 + bx + c = 0. \]

Løsningen av likningen kalles ofte for \(abc\)-formelen fordi den inneholder koeffisientene \(a\), \(b\) og \(c\). Vi skal første presentere den generelle løsningen og deretter utlede den ved hjelp av teknikkene vi har sett på så langt.

Den generelle løsningen

Husk: \(\pm\)-symbolet

\(\pm\)-tegnet leses som “pluss eller minus” og betyr at vi skal regne ut formelen to ganger

• Én gang med “\(+\)”

• Én gang med “\(-\)”.

Setning: \(abc\)-formelen

Løsningen til en andregradslikning

er gitt ved

Senere skal du få utlede denne formelen med litt hjelp – nå tar vi et eksempel på bruken av den.

Eksempel 2: \(abc\)-formelen

Løs likningen

\[ x^2 - 4x - 5 = 0. \]

Løsning

Fra likningen kan vi lese av at koeffisientene er

\[ a = 1 \quad \text{og} \quad b = -4 \quad \text{og} \quad c = -5. \]

Vi setter inn disse i \(abc\)-formelen som gir:

\[\begin{align*} x & = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-5)}}{2\cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \\ \\ & = \frac{4 \pm 6}{2} \end{align*}\]

Vi regner ut de to mulige løsningene, en med “\(+\)” og en med “\(-\)” som gir

\[ x = 5 \quad \lor \quad x = -1. \]

Nå kan du prøve deg på en oppgave for å teste forståelsen din!

Har du glemt? \(abc\)-formelen

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Underveisoppgave 1

Bruk \(abc\)-formelen til å løse likningene.

a

\[ x^2 - 3x - 4 = 0. \]

Fasit

\[ x = 4 \quad \lor \quad x = -1. \]

b

\[ 2x^2 + 8x + 8 = 0 \]

Fasit

\[ x = -2 \]

c

\[ x^2 + 4x + 5 = 0 \]

Hint

Hvis noe ser ut til å gå galt, kan det hende du regner riktig likevel – hvis det er en eller annen regning som ikke er lov, kan det hende det forteller oss noe om løsningene.

Fasit

Ingen løsninger.

---

Antall løsninger

Vi kan bruke \(abc\)-formelen til å bestemme hvor mange løsninger en andregradslikning har.

\(abc\)-formelen og diskriminanten

Med diskriminanten kan vi skrive \(abc\)-formelen på en annen måte:

\[\begin{align*} x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \end{align*}\]

De ulike tilfellene handler altså om hva som skjer når vi tar roten av \(D\). Spesielt får vi ingen løsning når \(D < 0\) fordi vi ikke kan ta roten av et negativt tall.

Setning: Antall løsninger for en andregradslikning

For en andregradslikning

definerer vi diskriminanten \(D\) som

Antall løsninger likningen har er bestemt av betingelsene i tabellen under.

Antall løsninger	Betingelse
2	\(D > 0\)
1	\(D = 0\)
Ingen	\(D < 0\)

Vi tar et eksempel.

Eksempel 3

Under ser vi hvordan vi kan bestemme antall løsninger i tre tilfeller. Du kan sammenligne med grafen under for å se at det stemmer.

To løsninger

Likning

\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]

Koeffisienter

\[ a = 1 \quad \text{og} \quad b = -2 \quad \text{og} \quad c = -8. \]

Diskriminant

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

Graf

Fig. 11.1 viser at grafen til \(f(x) = x^2 - 2x - 8\) skjærer \(x\)-aksen i to punkter som stemmer med at likningen har to løsninger.

Én løsning

Likning

\[ x^2 + 4x + 4 = 0 \]

Koeffisienter

\[ a = 1 \quad \text{og} \quad b = 4 \quad \text{og} \quad c = 4. \]

Diskriminant

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4\cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0. \]

Graf

Fig. 11.2 viser at grafen til \(f(x) = x^2 + 4x + 4\) skjærer \(x\)-aksen i ett punkt som stemmer med at likningen bare har én løsning når \(D = 0\).

Ingen løsning

Likning:

\[ x^2 + x + 1 = 0 \]

Koeffisienter

\[ a = 1 \quad \text{og} \quad b = 1 \quad \text{og} \quad c = 1. \]

Diskriminant

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4\cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -5. \]

Graf

Fig. 11.3 viser grafen til \(f(x) = x^2 + x + 1\) som ikke skjærer \(x\)-aksen i noen punkter, som stemmer med at likningen ikke har noen løsninger når \(D < 0\).

---

Utledning av \(abc\)-formelen

Du har vært med på å gjøre alt forarbeidet som skal til for å komme fram til \(abc\)-formelen. Du skal derfor få utlede den under med litt hjelp underveis.

Utforsk 1: Utledning av \(abc\)-formelen

Vi går ut ifra en helt generell andregradslikning

\[ ax^2 + bx + c = 0. \]

a

Vis ved regning at likningen

\[ ax^2 + bx + c = 0, \]

kan skrives om til

\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0. \]

Løsning

\[\begin{align*} ax^2 + bx + c & = 0 \\ \\ \dfrac{\cancel{a}x^2}{\cancel{a}} + \dfrac{bx}{a} + \dfrac{c}{a} & = 0 && \text{Deler med $a$ i alle ledd}\\ \\ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} & = 0. \end{align*}\]

b

For å gjøre stegene videre lettere å regne med, innfører vi to nye variabler

\[ B = \dfrac{b}{2a} \quad \text{og} \quad C = \dfrac{c}{a}. \]

Vis ved regning at dette betyr at likningen nå kan skrives som

\[ x^2 + 2Bx + C = 0. \]

Dette er bare et midlertidig variabelskifte. Vi skal bytte tilbake igjen til slutt! Dette er vanlig å bruke i matematikken for å gjøre regning underveis enklere så vi unngår unødvendige feil.

Hint

Du kan uttrykke de nye variablene slik at du kan bytte ut \(b\) og \(c\) i likningen. For eksempel så er

\[ c = a\cdot C \]

Løsning

Vi skriver om de nye variabelene:

\[\begin{equation*} \begin{matrix} B = \dfrac{b}{2a} \quad & \text{og} & \quad C = \dfrac{c}{a} \\ \\ 2a\cdot B = \dfrac{b}{\cancel{2a}}\cdot \cancel{2a} \quad & \text{og} & \quad a\cdot C = \dfrac{c}{\cancel{a}} \cdot \cancel{a} \\ \\ 2aB = b \quad & \text{og} & \quad aC = c \end{matrix} \end{equation*}\]

så setter vi inn de nye uttrykkene for \(b\) og \(c\) i likningen:

\[\begin{align*} x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} &= 0 \\ \\ x^2 + \dfrac{2aB}{a}x + \dfrac{aC}{a} &= 0 \\ \\ x^2 + \dfrac{2\cancel{a}B}{\cancel{a}}x + \dfrac{\cancel{a}C}{\cancel{a}} &= 0 \\ \\ x^2 + 2Bx + C &= 0. \end{align*}\]

c

Vis ved å bruke fullstendig kvadraters metode at du kan skrive om likningen

\[ x^2 + 2Bx + C = 0 \]

til

\[ (x + B)^2 = B^2 - C \]

Løsning

\[\begin{align*} x^2 + 2Bx + C &= 0 \\ \\ \underbrace{x^2 + 2Bx + \textcolor{red}{B^2}}_{\displaystyle (x + B)^2} - \textcolor{red}{B^2} + C &= 0 \\ \\ \textcolor{red}{(x + B)^2} - B^2 + C &= 0 && \text{1.kvadratsetning}\\ \\ (x + B)^2 - B^2 \textcolor{red}{+ B^2} + C \textcolor{red}{- C} &= \textcolor{red}{B^2 - C} \\ \\ (x + B)^2 &= B^2 - C. \end{align*}\]

d

Argumenter for at

\[ (x + B)^2 = B^2 - C \]

betyr at

\[ x + B = \pm \sqrt{B^2 - C}. \]

Løsning

Vi tar kvadratroten på hver side av likningen, men husker på at det betyr at den ene siden kan være både positiv og negativ:

\[\begin{align*} (x + B)^2 &= B^2 - C \\ \\ \sqrt{(x + B)^2} &= \pm \sqrt{B^2 - C} \\ \\ x + B &= \pm \sqrt{B^2 - C}. \end{align*}\]

Det spiller egentlig ingen rolle hvilken side vi plasserer \(\pm\) ved. Men å plassere den sammen med variabelen vil gjøre det litt vanskeligere å komme fram til \(abc\)-formelen til slutt.

e

Vis ved regning at

\[ x + B = \pm \sqrt{B^2 - C} \quad \iff \quad x = -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{c}{a}} \]

ved å sette tilbake

\[ B = \dfrac{b}{2a} \quad \text{og} \quad C = \dfrac{c}{a} \]

i likningen.

Løsning

\[\begin{align*} x + B &= \pm \sqrt{B^2 - C} \\ \\ x + B \textcolor{red}{-B} &= \textcolor{red}{-B} \pm \sqrt{B^2 - C} \\ \\ x &= -B \pm \sqrt{B^2 - C} \\ \\ x &= -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{c}{a}} && \text{Husk: } B = \dfrac{b}{2a} \quad \text{og} \quad C = \dfrac{c}{a} \\ \\ \end{align*}\]

f

Vis ved regning at

\[ x = -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{c}{a}} \]

kan skrives om til \(abc\)-formelen

\[ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]

Hint

Når du tar kvadratroten av en brøk, så gjelder:

\[ \sqrt{\dfrac{A}{B}} = \dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} \]

Løsning

\[\begin{align*} x &= -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{c}{a}} \\ \\ x &= -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\textcolor{red}{\dfrac{b^2}{4a^2}} - \dfrac{c}{a}} && \text{ganger ut potensen}\\ \\ x &= -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{\textcolor{red}{4a}}{\textcolor{red}{4a}} \cdot \dfrac{c}{a}} && \text{lager fellesnevner} \\ \\ x &= -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{4ac}{4a^2}} \\ \\ x &= -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \\ \\ x &= -\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\sqrt{4a^2}} && \text{Regneregel: } \sqrt{\dfrac{A}{B}} = \dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} \\ \\ x &= -\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ \\ x &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ \end{align*}\]

---

Når du har gjennomført oppgave a - f, så har du bevist \(abc\)-formelen!