11.2. Grafisk løsning

Læringsmål:

• Kunne løse andregradslikninger grafisk.

Å løse andregradslikninger grafisk, handler om å finne skjæringspunkter mellom grafen til en andregradsfunksjon og grafene til andre funksjoner.

Utforsk 1

Under vises eksempler på tre ulike typer andregradslikninger. Vi har annotert likningene med \(f(x)\) og \(g(x)\) for å tildele en funksjon til uttrykkene i likningene så det er lettere å se samsvar med grafene.

Hvor hver likning, prøv å løse likningen ved hjelp av grafen. Sjekk svaret ditt med løsningen.

\(x^2 - x - 2 = 0\)

\[ \underbrace{x^2 - x - 2}_{\displaystyle f(x)} = 0 \]

---

Løsning

Grafen skjærer \(x\)-aksen i \((-1, 0)\) og \((2, 0)\). Dermed er løsningen av likningen

\[ x = -1 \quad \lor \quad x = 2. \]

\(x^2 - 4x + 5 = x + 1\)

\[ \underbrace{x^2 - 4x + 5}_{\displaystyle f(x)} = \underbrace{x + 1}_{\displaystyle g(x)} \]

---

Løsning

Grafene til \(f\) og \(g\) skjærer hverandre i punktene \((1, 2)\) og \((4, 5)\). Løsningen til likningen \(f(x) = g(x)\) er \(x\)-koordinatene til skjæringspunktene. Dermed er løsningen

\[ x = 1 \quad \lor \quad x = 4. \]

\(x^2 + x - 2 = -\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{7}{3}x + 3\)

\[ \underbrace{x^2 + x - 2}_{\displaystyle f(x)} = \underbrace{-\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{7}{3}x + 3}_{\displaystyle g(x)} \]

---

Løsning

Grafene til \(f\) og \(g\) skjærer hverandre i punktene \((-3, 4)\) og \((1, 0)\). Løsningen til likningen \(f(x) = g(x)\) er \(x\)-koordinatene til skjæringspunktene. Dermed er løsningen

\[ x = -3 \quad \lor \quad x = 1. \]

---

Oppsummering: grafisk løsning av andregradslikninger

For å løse en andregradslikning grafisk, tegner vi grafene til funksjonene som inngår i likningene og finner skjæringen mellom grafene.

Under vises generell teori for de tre typene andregradslikninger som du så på i utforsk 1.

\(ax^2 + bx + c = 0\)

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

\(ax^2 + bx + c = qx + r\)

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{og} \quad g(x) = qx + r \]

\(ax^2 + bx + c = px^2 + qx + r\)

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{og} \quad g(x) = px^2 + qx + r \]

---

Underveisoppgave 1

I Fig. 11.4 vises grafen til

\[ f(x) = x^2 - x - 6. \]

Fig. 11.4 viser grafen til \(f(x) = x^2 - x - 6\).

a

Bruk grafen til å løse likningen

\[ x^2 - x - 6 = 0 \]

Fasit

\[ x = -2 \quad \lor \quad x = 3. \]

b

Bruk grafen til å løse likningen

\[ x^2 - x - 6 = -4 \]

Fasit

\[ x = -1 \quad \lor \quad x = 2. \]

c

Bruk grafen til å løse likningen

\[ x^2 - x - 6 = 6 \]

Fasit

\[ x = -3 \quad \lor \quad x = 4. \]

---

Underveisoppgave 2

I Fig. 11.5 vises grafene til

\[ f(x) = -x^2 + x + 6 \quad \text{og} \quad g(x) = x - 3. \]

Fig. 11.5 viser grafene til \(f(x) = -x^2 + x + 6\) og \(g(x) = x - 3\).

a

Bruk Fig. 11.5 til å løse likningen

\[ -x^2 + x + 6 = 0 \]

Fasit

\[ x = -2 \quad \lor \quad x = 3. \]

b

Bruk Fig. 11.5 til å løse likningen

\[ -x^2 + x + 6 = 4 \]

Fasit

\[ x = -1 \quad \lor \quad x = 2. \]

c

Bruk Fig. 11.5 til å løse likningen

\[ -x^2 + x + 6 = x - 3 \]

Fasit

\[ x = -3 \quad \lor \quad x = 3. \]