11.3. Spesielle andregradslikninger

Læringsmål: spesielle andregradslikninger

• Kunne løse spesielle andregradslikninger algebraisk.

Det krever en del verktøy før vi er i stand til å løse alle andregradslikninger algebraisk. Her skal vi se på noen spesielle andregradslikninger som vi kan løse med noen enkle triks. Senere skal vi se på hvordan vi kan løse andregradslikninger generelt – men triksene vi lærer her vil være raskere å bruke på de likningene vi skal se på nå.

Produktregelen for likninger

Vi starter med en nyttig setning:

Setning: produktregelen

Hvis \(A\) og \(B\) er to tall og

\[ A \cdot B = 0, \]

så er

\[ A = 0 \quad \text{eller} \quad B = 0. \]

Vi skriver dette som

\[ A \cdot B = 0 \quad \iff \quad A = 0 \quad \lor \quad B = 0, \]

der vi leser \(\lor\) som “eller”.

---

Eksempel 1

En andregradslikning er gitt ved

\[ (x - 1)(x + 2) = 0. \]

Bestem løsningen.

Løsning

Vi kan bruke produktregelen ved å tenke på hver faktor som to tall \(A\) og \(B\):

\[ \underbrace{(x - 1)}_{\displaystyle A} \cdot \underbrace{(x + 2)}_{\displaystyle B} = 0. \]

Altså står det egentlig bare \(A \cdot B = 0\), som betyr at

\[\begin{align*} A = 0 \quad & \lor \quad B = 0 \\ \\ x - 1 = 0 \quad & \lor \quad x + 2 = 0 \\ \\ x = 1 \quad & \lor \quad x = -2. \end{align*}\]

---

Når er det din tur!

Underveisoppgave 1

a

Bruk produktregelen til å løse likningen

\[ (x + 2)(x - 4) = 0. \]

Fasit

\[ x = -2 \quad \lor \quad x = 4. \]

b

Bruk produktregelen til å løse likningen

\[ x\left(x + 2\right) = 0. \]

Fasit

\[ x = 0 \quad \lor \quad x = -2. \]

c

Bruk produktregelen til å løse likningen

\[ (-x + 4)(x + 3) = 0. \]

Fasit

\[ x = 4 \quad \lor \quad x = -3. \]

---

I underveisoppgave 1 møtte du på en spesiell andregradslikning som har en sammenheng med en annen skrivemåte. Utvider vi parentesen, finner vi at

\[ x(x + 2) = 0 \quad \iff \quad x^2 + 2x = 0. \]

Med andre ord er dette også likninger som er egnet for å løses med produktregelen, så lenge vi faktoriserer først. Vi tar et eksempel:

Vi deler aldri med \(x\)

Hvis vi deler med \(x\), så vil vi miste løsningen \(x = 0\). Hver gang vi deler med \(x\), dør det både en hund 🐕 og en katt 🐈. Vi deler derfor aldri med \(x\)!

Eksempel 2

Løs likningen

\[ 4x^2 + 16x = 0. \]

Løsning

Vi løser denne i to steg:

1. Faktorisere ut en faktor \(4x\) fra uttrykket.

2. Løser likningen med produktregelen.

\[\begin{align*} 4x^2 + 16x &= 0 \\ \\ \textcolor{red}{4x} \cdot x + \textcolor{red}{4x} \cdot 4 & = 0 && \text{Faktoriser med felles faktor i hvert ledd} \\ \\ 4x(x + 4) &= 0 && \text{Faktoriserer ut en faktor $4x$} \\ \\ 4x = 0 & \quad \lor \quad x + 4 = 0 && \text{Bruker produktregelen} \\ \\ x = 0 & \quad \lor \quad x = -4. \end{align*}\]

Når er det din tur!

Underveisoppgave 2

a

Løs likningen

\[ x^2 - 2x = 0. \]

Fasit

\[ x = 0 \quad \lor \quad x = 2. \]

b

Løs likningen

\[ 3x^2 - 6x = 0. \]

Fasit

\[ x = 0 \quad \lor \quad x = 2. \]

c

Løs likningen

\[ -2x^2 + 8x = 0. \]

Fasit

\[ x = 0 \quad \lor \quad x = 4. \]

---

Kvadratrot for å løse andregradslikninger

Kvadratrot er en annen strategi som fungerer på noen andregradslikninger. Vi går løs på et eksempel.

Eksempel 3

Løs likningen

\[ x^2 - 9 = 0. \]

Løsning

Først kan vi skrive om likningen

\[\begin{align*} x^2 - 9 &= 0 \\ \\ x^2 &= 9 \\ \end{align*}\]

Vi leter etter et tall \(x\) slik at \(x^2 = 9\). Dette finnes to slik tall som vi kan prøve ut:

\[ (-3)^2 = 9 \quad \text{og} \quad 3^2 = 9. \]

Så både \(x = -3\) og \(x = 3\) vil være løsninger av likningen.

Men dette er det samme som å si at

\[ x^2 = 9 \quad \iff \quad x = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \quad \iff \quad x = -3 \quad \lor \quad x = 3. \]

der \(\pm\)-symbolet betyr “pluss eller minus”.

---

Underveisoppgave 3

a

Løs likningen

\[ x^2 = 4. \]

Fasit

\[ x = \pm 2. \]

b

Løs likningen

\[ x^2 - 25 = 0. \]

Fasit

\[ x = \pm 5. \]

c

Løs likningen

\[ x^2 + 16 = 0. \]

Fasit

\[ x \in \emptyset. \]

Det finnes ingen løsning.