Oppgaver: Algebraisk løsning

Oppgave 1

Ta quizen!

---

Oppgave 2

Løs ulikhetene ved hjelp av fortegnslinjene.

a

Løs \(f(x) > 0\).

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus [-3, 1] \]

b

Løs \(f(x) \geq 0\).

Fasit

\[ x \in [-2, 0] \]

c

Løs \(f(x) > 0\).

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} \]

d

Løs \(f(x) \leq 0\).

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \langle -5, -1 \rangle \]

---

Oppgave 3

En ulikhet er gitt ved

\[ x^2 - 4x \geq 0. \]

a

Bestem nullpunktsformen til \(f(x) = x^2 - 4x\).

Fasit

\[ f(x) = x(x - 4) \]

b

Tegn et fortegnsskjema for \(f(x)\).

Fasit

c

Løs ulikheten.

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \langle 0, 4 \rangle \]

---

Oppgave 4

Når den ledende koeffisienten \(a \neq 1\), tar vi den med som en faktor i fortegnsskjema. Her møter du en ulikhet der du må gjøre dette.

En ulikhet er gitt ved

\[ -x^2 + x + 2 > 0 \]

a

Bestem nullpunktsformen til \(f(x) = -x^2 + x + 2\).

Fasit

\[ f(x) = -1 \cdot(x - 2)(x + 1) \]

b

Tegn et fortegnsskjema for \(f(x)\).

Fasit

c

Løs ulikheten.

Fasit

\[ x \in \langle -1, 2 \rangle \]

---

Oppgave 5

Løs ulikhetene.

a

\[ x^2 - 4x + 3 \geq 0 \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, 1] \cup [3, \to \rangle \]

b

\[ x^2 - x - 12 < 0 \]

Fasit

\[ x \in \langle -3, 4 \rangle \]

c

\[ -x^2 - 2x + 3 \leq 0 \]

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \langle -3, 1 \rangle \]

d

\[ -3x^2 - 9x + 12 > 0 \]

Fasit

\[ x \in \langle -4, 1 \rangle \]

---

Oppgave 6

a

Løs ulikheten

\[ x^2 + 3x - 4 > 4x - 2 \]

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus [-1, 2] \]

b

Løs ulikheten

\[ -2x^2 + 5x + 1 \leq -3x + 7 \]

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \langle 1, 3 \rangle \]

c

Løs ulikheten

\[ -4x - 6 < -x^2 + x + 8 \]

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus [-2, 7] \]

d

Løs ulikheten

\[ -x^2 + x + 12 \geq -3x^2 - x + 52 \]

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \langle -5, 4 \rangle \]

---

Oppgave 7

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -x^2 + 3x + 4 \]

a

Løs ulikheten

\[ f(x) \geq 0 \]

Fasit

\[ x \in [-1, 4] \]

b

Løs ulikheten

\[ f(x) > 4 \]

Fasit

\[ x \in \langle 0, 3\rangle \]

c

Løs ulikheten

\[ f(x) \leq -6 \]

Fasit

\[ x \in \mathbb{R} \setminus \langle -2, 5 \rangle \]

d

Løs ulikheten

\[ f(x) < 6 \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, 1 \rangle \cup \langle 2, \to \rangle \]

---

Oppgave 8

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = rx^2 - x + r \]

a

Bestem alle \(r \in \mathbb{R}\) slik at \(f\) bare har ett nullpunkt.

Fasit

\[ r = -\dfrac{1}{2} \quad \lor \quad r = \dfrac{1}{2} \]

b

Bestem alle \(r \in \mathbb{R}\) slik at \(f\) ikke har noen nullpunkter.

Fasit

\[ r \in \mathbb{R} \setminus \left\{ -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} \right\} \]