7.1. Lineære modeller#
Læringsmål
Etter det delkapitlet, er målet at du skal:
Kunne forklare og lage lineære modeller for praktiske situasjoner.
Kunne beskrive og bestemme definisjonsmengden og verdimengden til en lineær funksjon i en praktisk situasjon.
Lineære modeller er en type matematisk modell som beskriver en sammenheng mellom to variabler \(x\) og \(y\) der vi antar at sammenhengen mellom dem er lineær, som vil si at
der \(a\) og \(b\) er koeffisientene til modellen. Når vi snakker om lineære modeller, kaller vi ofte koeffisientene for parametere.
Lage lineære modeller for praktiske situasjoner#
I en del tilfeller er det rimelig å anta en lineær sammenhengen mellom to variabler \(x\) og \(y\). Vi ser på en slik situasjon i eksempel 1.
Eksempel 1
Hvis du skal leie en el-sparkesykkel fra Voi, må du betale \(10\) kr for å låse opp sparkesykkelen og \(3\) kr per minutt du leier den.
Sett opp en lineær modell \(f\) slik at \(f(x)\) gir prisen i kroner for å leie sparkesykkelen i \(x\) minutter.
Løsning
Modellen vår har formen
Siden startprisen er \(10\) kr, vet vi at \(f(0) = 10\). Dette gir oss at \(b = 10\). Videre vet vi at prisen øker med \(3\) kr for hvert minutt som betyr at stigningstallet er \(a = 10\). Dermed er modellen vår beskrevet av
Underveisoppgave 1
Et annet el-sparkesykkelselskap har en annen prismodell. For å leie en el-sparkesykkel hos dette selskapet i \(x\) minutter, er prisen i kroner gitt ved
Hvor mye koster det å låse opp sparkesykkelen, og hvor mye koster det å leie sparesykkelen per minutt?
Fasit
Stigningstallet er \(a = 8\) som betyr at det koster \(8\) kr per minutt å leie sparkesykkelen. Konstantleddet er \(b = 12\) kr som betyr at det koster \(12\) kr å låse opp sparkesykkelen.
Når vi skriver \(y = f(x)\), antar vi at \(x\) bestemmer verdien til \(y\). Da sier vi at \(x\) er den uavhengige variabelen og \(y\) er den avhengige variabelen.
Oppsummering: lage lineære modeller
Gitt en uavhengig variabel \(x\) og en avhengig variabel \(y\), kan vi lage en lineær modell \(f\) som beskriver sammenhengen mellom \(x\) og \(y\) på formen
der \(y = f(x)\).
Når vi jobber med lineære modeller, kaller vi ofte koeffisientene \(a\) og \(b\) for parameterne til modellen.
Definisjonsmengde og verdimengde#
To nye typer mengder som hører til en funksjon \(f\) er definisjonsmengden \(D_f\) og verdimengden \(V_f\). Rent praktisk betyr dette at hvis vi har grafen til \(f\), vil de to mengdene inneholde følgende tall:
Definisjonsmengde \(D_f\) – Mengden av alle \(x\)-verdier som ligger på grafen til \(f\).
Verdimengde \(V_f\) – Mengden av alle \(f(x)\)-verdier (\(y\)-verdier) som ligger på grafen til \(f\).
La oss prøve å forstå dette gjennom et par eksempler.
Eksempel 1
Under vises tre eksempler på lineære funksjoner og deres definisjonsmengde og verdimengde. I figurene har vi marker med klammeparentes hvis endepunktet er inkludert i mengden, og vinkelparentes hvis ikke.
For grafen til \(f\) har vi at
Dermed er definisjonsmengden og verdimengden til \(f\) gitt ved
Fig. 7.2 viser en lineær funksjon \(f\) som har definisjonsmengde \(D_f = \langle 3, 8]\) og verdimengde \(V_f = \langle 1, 6]\).#
Fra grafen til \(g\) kan vi se at
Derfor er definisjonsmengden og verdimengden til \(g\) gitt ved
Fig. 7.3 viser en lineær funksjon \(g\) som har definisjonsmengde \(D_g = [2, 6]\) og verdimengde \(V_g = [4, 8]\).#
Fra grafen til \(h\) kan vi se at
Dermed er definisjonsmengden og verdimengden til \(h\) gitt ved
Fig. 7.4 viser en lineær funksjon \(h\) som har definisjonsmengde \(D_h = \langle 2, 6 \rangle\) og verdimengde \(V_h = \langle 3, 5 \rangle\).#
Oppsummering: Definisjonsmengde og Verdimengde
For en funksjon \(f\), kan vi gi flere tolkninger av definisjonsmengde og verdimengde ut ifra hvilken representasjon vi bruker.
- Definisjonsmengde \(D_f\)
Mengden av alle \(x\)-verdier som vi kan bruke til å regne ut funksjonsverdier \(f(x)\).
Mengden av alle \(x\)-verdier som ligger på grafen til \(f\).
- Verdimengde \(V_f\)
Mengden av alle funksjonsverdier \(f(x)\) som vi kan få fra \(x\)-verdiene i definisjonsmengden.
Mengden av alle \(f(x)\)-verdier (\(y\)-verdier) som ligger på grafen til \(f\).
Fig. 7.5 viser grafisk hva som er definisjonsmengden \(D_f\) og verdimengden \(V_f\) til en lineær funksjon \(f\).#
Underveisoppgave 1
Ta quizen!
Laster inn quiz...⏳
Praktisk betydning av definisjonsmengde og verdimengde#
I praktiske situasjoner finnes det ofte begrensninger på hva som gir mening å bruke som \(x\)-verdier, og hva som gir mening som \(f(x)\)-verdier. Da setter vi opp definisjonsmengden og verdimengden ut ifra hva som gir mening i den praktiske situasjonen.
Eksempel 3
Prisen i \(f(x)\) kroner for å leie en el-sparkesykkel i \(x\) minutter var i eksempel 1 gitt ved funksjonen
Sparkesykkelselskapet tillatter bare at du leier sparkesykkelen i inntil 90 minutter.
Hva er definisjonsmengden og verdimengden til \(f\) i denne situasjonen?
Løsning
Den minste mulige tiden vi kan leie en sparkesykkel må være \(0\) minutter som betyr at \(x \geq 0\). Men vi kan heller ikke leie sparkesykkelen i mer enn 90 minutter, som betyr at \(x \leq 90\). Dette betyr derfor at
Derfor blir definisjonsmengden
For å bestemme den tilhørende verdimengden, kan vi merke oss at \(f\) vokser hele tiden og vi kan derfor se at verdimengden blir avgrenset av \(f(0)\) og \(f(90)\). Dette gir oss begrensningene
Derfor er verdimengden
Den praktiske tolkningen av dette er at vi kan ikke betale mindre enn 10 kroner (hvis vi leier i 0 minutter) og ikke mer enn 280 kroner (hvis vi leier i 90 minutter).