Oppgaver:
Lineære modeller

Oppgave 1

Lise handler på en perlebutikk der man kan lage seg et perkesmykke ved å plukke ut et antallet perler og lage smykket. For å lage et smykke trenger man et kjede, det koster \(15\) kr. Hver perle koster \(2\) kr.

a

Sett opp en funksjon \(f\) som gir prisen i \(f(x)\) kroner for å kjøpe ett smykke med \(x\) perler.

Fasit

\[ f(x) = 2x + 15 \]

b

Det er bare plass til 60 perler i et smykke.

Sett opp en passende definisjonsmengde og tilhørende verdimengde for \(f\).

Fasit

\[ D_f = \langle 0, 60] \quad \text{og} \quad V_f = \langle 15, 135] \]

---

Oppgave 2

For å ta en taxi betaler man en fastpris på \(50\) kr og \(9\) kr per minutt.

a

Sett opp en funksjon \(f\) som gir prisen i \(f(x)\) kroner for å ta en taxi i \(x\) minutter.

Fasit

\[ f(x) = 9x + 50 \]

b

Hvor mye koster det å kjøre taxi i \(10\) minutter?

Fasit

\[ f(10) = 9\cdot 10 + 50 = 140 \]

Det koster altså \(140\) kr å kjøre taxi i \(10\) minutter.

c

Hvor lenge kan du kjøre taxi for \(230\) kr?

Fasit

\[ $x = 20 \]

Man kan altså kjøre taxi i \(20\) minutter for \(230\) kr.

---

Oppgave 3

I 1987 kostet en kroneis 6 kr. I 2022 hadde prisen steget til 27 kroner. Vi antar at prisutviklingen har vært tilnærmet lineær i perioden fra 1987 til 2022.

a

Sett opp en funksjon \(f\) som gir prisen for en kroneis i \(f(x)\) kroner \(x\) år etter 1987.

Fasit

\[ f(x) = \dfrac{3}{5}x + 6 \]

b

Hvor mye endret prisen på en kroneis seg per år, ifølge modellen?

Fasit

Stigningstallet til \(f\) er \(a = 3/5\). Prisen på en kroneis har derfor økt med

\[ a = \dfrac{3}{5} = 0.6 \]

kroner per år.

c

En kroneis kostet 1 krone i 1970.

Hvor mye kostet en krone i 1970 ifølge modellen?

Fasit

\[ f(1970 - 1987) = f(-17) = \dfrac{3}{5} \cdot (-17) + 6 \approx -4.2 \]

Prisen blir negativ som ikke gir praktisk mening. Modellen fungerer altså ikke så langt tilbake i tid.

d

Hvor mye vil en kroneis koste i 2030, ifølge modellen?

Fasit

\[ f(2030 - 1987) = \dfrac{3}{5} \cdot 43 + 6 \approx 32 \]

Isen koster 32 kroner, noe som kan være rimelig. Modellen ser dermed ut til å fungere greit fremover i tid.

---

Oppgave 4

Lydfarten i luft er ca. \(343 \, \mathrm{m/s}\) (meter per sekund). Når det lyner ute, produseres det en kraftig lyd som vi kaller torden.

a

Sett opp en funksjon \(f\) som slik at modellen gir \(f(x)\) meter lyden reiser på \(x\) sekunder etter lynet har slått ned.

Fasit

\[ f(x) = 343x \]

b

Hvis du ser lynglimtet, og hører det tordner \(6\) sekunder etterpå – hvor langt skjedde lynnedslaget fra deg?

Fasit

\[ f(6) = 343\cdot 6 = 2058 \]

Lynnedslaget skjedde dermed 2058 m unna der du stod, noe som tilsvarer litt over 2 km.

c

Hvor lang tid vil det ta før du hører torden dersom du er \(4 \, \mathrm{km}\) unna lynnedslaget?

Fasit

For å finne svaret må vi løse likningen \( 343x = 4000 \)

Vi finner da at \(x \approx 11,66\). Du hører altså lynnedslaget etter 11,7 sekunder.

---

Oppgave 5

To av aktørene i Oslo som tilbyr leie av el-sparkesykkel er Ryde og Bolt. De to aktørene har følgende prismodeller:

Ryde

• Startpris: 10 kr

• Pris per minutt: 2.5 kr

Bolt

• Startpris: 5 kr

• Pris per kilometer: 12 kr

---

a

Sett opp en funksjon \(R\) som gir prisen i \(R(t)\) kroner for å leie en el-sparkesykkel fra Ryde i \(t\) minutter.

Fasit

\[ R(t) = 2.5t + 10 = \dfrac{5}{2}t + 10 \]

b

Sett opp en funksjon \(B\) som gir prisen i \(B(x)\) kroner for å leie en el-sparkesykkel fra Bolt for å kjøre \(x\) kilometer.

Fasit

\[ B(x) = 12x + 5 \]

c

Maksfarten til en el-sparkesykkel er 20 km/t. Vi antar at du i gjennomsnitt kjører i 15 km/t (siden du må bremse og følge trafikk og lignende i Oslo sine gater).

Gjør beregninger og vurder hvilket tilbud som er billigst dersom du skal reise 2 km.

Hint

Du får bruk for vei-fart-tid formelen

\[ s = v\cdot t \]

der \(s\) er strekning, \(v\) er fart og \(t\) er tid.

---

Husk at du også må bruke riktig tidsenhet for å sammenlikne.

d

René kjører ofte el-sparkesykkel og bruker i gjennomsnitt 5 minutter per tur. Anta at han kjører i 15 km/t i gjennomsnitt.

Hvilket tilbud er mest gunstig for René?

---

Oppgave 6

To biler begynner å kjøre samtidig fra to forskjellige steder.

• Bil \(\mathrm{A}\) kjører fra Oslo i retning nord med en konstant fart på 80 km/t.

• Bil \(\mathrm{B}\) kjører fra Lillehammer sør med en konstant fart på 100 km/t.

• Avstanden fra Oslo til Lillehammer er ca. 180 km.

a

Sett opp en funksjon \(f\) som angir avstanden fra Oslo til bil \(\mathrm{A}\) i \(f(t)\) kilometer etter \(t\) timer.

Fasit

\[ f(t) = 80t \]

b

Sett opp en funksjon \(g\) som gir avstanden fra Oslo til bil \(\mathrm{B}\) i \(g(t)\) kilometer etter \(t\) timer.

Fasit

\[ g(t) = -100t + 180 \]

c

Når vil bilene møte hverandre?

Fasit

\[ t = 1 \]

Bilene møter hverandre etter 1 time.

d

Bilene skal kun kjøre fram til din destinasjon.

Hva er en passende definisjonsmengde og verdimengde for \(f\) og \(g\)?

Fasit

\( D_f = [0, 2.25] \)

\( V_f = [0, 180] \)

\( D_g = [0, 1.8] \)

\( V_g = [0, 180] \)