Oppgavesamling 1

8.1. Oppgavesamling 1#

Fagstoff som dekkes i oppgavesamlingen

  • Ulikheter

  • Fortegnslinjer

  • Likningssystemer

  • Modellering

  • CAS

  • Programmering av likninger og likningssystemer

Oppgaver som er markert med (*) er oppgaver som kan være litt vanskeligere enn de andre oppgavene og passer ikke nødvendigvis med hva som er gjort i timene i alle klasser. Spør faglærer om du er usikker på om du skal gjøre disse oppgavene.

Oppgave 1

I Fig. 8.1 vises grafene til to lineære funksjoner \(f\) og \(g\).

../../../../_images/graf8.svg

Fig. 8.1 viser grafene til \(f\) og \(g\).#

Bestem løsningen av

\[ f(x) > 0. \]

Fasit

\[ x > 2 \]
\[ x \in \langle 2, \to \rangle \]

Bestem løsningen av

\[ g(x) \leq 0. \]

Fasit

\[ x \geq 8 \]
\[ x \in [8, \to \rangle \]

Bestem løsningsmengden til

\[ f(x) < 3. \]

Fasit

\[ x \in \langle \gets, 5 \rangle \]

Bestem løsningen av

\[ f(x) \leq g(x). \]

Fasit

\[ x \leq 4 \]
\[ x \in \langle \gets, 4] \]

Tegn fortegnslinja til \(f(x)\).

Fasit

../../../../_images/e.svg

Tegn fortegnslinja til \(g(x)\).

Fasit

../../../../_images/f5.svg

Oppgave 2

Løs ulikhetene ved regning. Sjekk svarene dine med CAS.

\[ 3x - 2 > 0 \]

Fasit

\[ x > \frac{2}{3} \]
\[ -2x + 3 \leq 5 \]

Fasit

\[ x \geq -1 \]
\[ 2x - 1 < -4x + 7 \]

Fasit

\[ x < \dfrac{4}{3} \]

Oppgave 3

Løs likningssystemene ved regning. Sjekk svaret med CAS.

\[\begin{align*} 3x - 2y &= 5 \\ \\ -x + y &= -1 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = 3 \quad \land \quad y = 2 \]
\[\begin{align*} -2x - y &= 1 \\ \\ 2x - y &= 7 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = \dfrac{3}{2} \quad \land \quad y = -4 \]
\[\begin{align*} x + 2y &= -1 \\ \\ x - 3y &= 5 \end{align*}\]

Fasit

\[ x = \dfrac{7}{5} \quad \land \quad y = -\dfrac{6}{5} \]

Oppgave 4

Et tivoli har følgende prismodell. Det koster 200 kr å komme inn i tivoliet. Hver tur du kjører koster 30 kr.

Sett opp en funksjon \(f\) som gir prisen i \(f(x)\) kroner når du har kjørt \(x\) turer.

Fasit

\[ f(x) = 200 + 30x \]

Hvor mye må du betale hvis du kjører \(5\) turer?

Fasit

\[ f(5) = 200 + 30\cdot 5 = 200 + 150 = 350 \]

Du må betale 350 kr.

Hvor mange turer må du kjøre før du betaler mer enn 500 kr?

Fasit

For å løse problemet må vi løse likninga \(f(x)> 500\)

\[\begin{align*} 200 + 30x &> 500 \\ 30 x &> 300 \\ x &> \frac{300}{30} \\ x &> 10 \end{align*}\]

Du må kjøre mer enn 10 turer før du betaler mer enn 500 kr.

En kjøretur tar 5 minutter. Tivoli er åpent i 3 timer.

Sett opp en definisjonsmengde og verdimengde for \(f\) som passer med den praktiske situasjonen.

Fasit

\(x\) representerer antall turer. Det minste antallet turer du kan ta er 0. På 3 timer kan du maksimalt rekke 36 turer. Vi får derfor

\[ D_f = [0, 36] \]

Det minste beløpet du kan betale er 200 kr, dersom du ikke tar noen kjøreturer. Det største antallet er \(f(36) = 200 + 30\cdot 36 = 1280 \). Vi får da verdimengden

\[ V_f = [200, 1280] \]

Oppgave 5

I tabellen under vises dyrket jord i antall dekar (dekar er et areal som tilsvarer \(1000 \, \mathrm{m^2}\)) som er brukt til andre formål en landbruk. Vi kaller dette for å omdisponere dyrket jord i noen utvalgte år i Norge.

År

Antall dekar

\(2011\)

\(7\,079\)

\(2015\)

\(6\,422\)

\(2018\)

\(3\,908\)

\(2020\)

\(4\,740\)

\(2022\)

\(3\,604\)

\(2023\)

\(2\,941\)

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en lineær modell \(f\) der \(f(x)\) gir antall dekar med omdisponert jord \(x\) år etter 2011.

Fasit

Bruker regresjon og får modellen

\[ f(x) = -340x + 7222 \]

Gi en praktisk tolkning av stigningstallet og konstantleddet til modellen.

Er de praktisk rimelige?

Fasit

Stigningstallet til modellen er \(-340 \quad \mathrm{ dekar/år}\) og representerer den årlige nedgangen i omdisponering. Det er rimelig at stigningstallet er negativt ettersom vi ser at omdisponeringen synker i perioden vi studerer. Konstantleddet til modellen er \(7222\quad \mathrm{ dekar}\). Dette representerer omdisponeringen ved modellens start, dvs i 2011. Vi ser at tallet ikke er nøyaktig likt tallet i tabellen, men i nærheten. Det er ikke unormalt, ettersom den lineære modellen er linja som passer best med alle punktene, og ikke bare det første.

Bestem hvor mye jord som vil brukes til andre formål enn jordbruk – ifølge modellen din – i årene

  • 2030

  • 2050

Fasit

2030 tilsvarer \(x = 19\) og 2050 tilsvarer \(x=39\) i modellen. Vi får da

\[ f(19) = -340\cdot 19 + 7222 = 762 \]

Ifølge modellen vil det altså være 762 dekar som er omdisponert i 2030.

\[ f(39) = -340\cdot 39 + 7222 = -6038 \]

Ifølge modellen vil det altså være -6038 dekar som er omdisponert i 2050.

Vurder gyldighetsområdet til modellen ut ifra opplysningene du har funnet i oppgaven.

Fasit

Ut fra svarene i oppgave c) ser vi at det er mulig at modellen kan være gyldig i 2030, men at den ikke er gyldig i 2050 ettersom vi får et negativt antall omdisponert areal.

Oppgave 6

Ett eple koster 5 kroner og én banan koster 3 kroner. Du kjøper til sammen 10 frukt og betaler 38 kroner.

Hvor mange epler og hvor mange bananer kjøpte du?

Fasit

4 epler og 6 bananer.

Oppgave 7

Fortegnslinja til en lineær funksjon \(f\) er gitt vist under.

../../../../_images/oppgave_72.svg

Bruk fortegnslinja til å løse ulikheten

\[ f(x) < 0 \]

Oppgave 8 (*)

Fortegnslinja til

\[ g(x) = (x - 2)(x + 1) \]

er vist i figur Fig. 8.2.

../../../../_images/oppgave_81.svg

Fig. 8.2 viser fortegnslinja til \(g(x)\).#

Løs ulikheten

\[ g(x) < 0 \]

Løs ulikheten

\[ g(x) \geq 0 \]

Oppgave 9

En elev har skrevet et program for å løse en oppgave.

 1def f(x):
 2    return 2 * x + 1
 3
 4
 5def g(x):
 6    return -x + 2
 7
 8
 9for x in range(-10, 11):
10    if f(x) == g(x):
11        print(x, f(x))

Under vises fire mulige oppgaver eleven jobber med.

Bestem hvilke av oppgavene du kan løse med utskriften til programmet.

A

\[ 2x - 1 > -x + 2 \]

B

\[ 2x - 1 = -x + 2 \]

C

\[\begin{align*} -2x + y &= -1 \\ \\ x + y &= 2 \end{align*}\]

D

\[ 3x - 3 = 0 \]

Oppgave 10

En lineær funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2x - 4. \]

Bruk \(f(x)\) til å lage en ulikhet med løsningen

\[ x < 2 \]

Bruk \(f(x)\) til å lage en ulikhet med løsningsmengden

\[ x \in \langle \gets, 6] \]

Løsningsmengden til en ulikhet

\[ f(x) > h(x) \]

for en lineær funksjon \(h\) er

\[ x \in \langle -3, \to \rangle \]

Bestem et mulig uttrykk for \(h(x)\).

Oppgave 11

Grafene til to lineære funksjoner \(f\) og \(g\) er vist i Fig. 8.3.

../../../../_images/oppgave_111.svg

Fig. 8.3 viser grafene til to lineære funksjoner \(f\) og \(g\).#

Under vises 4 likningssystemer.

Bestem hvilke(t) likningssystem du kan løse med grafene i Fig. 8.3.

A

\[\begin{align*} x - y &= 1 \\ \\ -2x + y &= -4 \end{align*}\]

B

\[\begin{align*} x + y &= 1 \\ \\ -x + 2y &= -4 \end{align*}\]

C

\[\begin{align*} -x + y &= -1 \\ \\ \dfrac{1}{2}x - y &= 2 \end{align*}\]

D

\[\begin{align*} x + y &= -1 \\ \\ -\dfrac{1}{2}x - y &= -2 \end{align*}\]

Oppgave 12

Grafene til tre lineære funksjoner \(f\) og \(g\) og \(h\) er vist i figur.

../../../../_images/graf9.svg

Fig. 8.4 viser grafene til tre lineære funksjoner \(f\) og \(g\) og \(h\).#

En elev har tegnet et fortegnsskjema, men har glemt å markere hvilken funksjon fortegnslinja tilhører.

Bestem hvilken funksjon fortegnslinja tilhører.

../../../../_images/a16.svg

Tegn fortegnslinjene til de gjenværende funksjonene.

Oppgave 13 (*)

Fortegnslinja til

\[ f(x) = -2(x - 1)(x + 3) \]

er vist under.

Bestem løsningen av ulikheten

\[ f(x) < 0 \]
../../../../_images/a17.svg

Fig. 8.5 viser fortegnslinja til \(f(x)\).#

En annen funksjon er gitt ved

\[ g(x) = 3(x + 1)(x - 4) \]

Tegn fortegnsskjema til \(g\).

Fasit

../../../../_images/b16.svg

Bruk fortegnsskjema fra oppgave b til å løse ulikheten

\[ g(x) \geq 0 \]

En funksjon \(h\) har en fortegnslinje som vist i Fig. 8.6.

Bestem et mulig uttrykk for \(h(x)\) som passer med fortegnslinja.

../../../../_images/d8.svg

Fig. 8.6 viser fortegnslinja til \(h(x)\).#