Oppgaver: Bestemme funksjonsuttrykk til lineære funksjoner

Oppgave 1

Fyll ut tabellen nedenfor.

Funksjon	\((x_1, y_1)\)	\((x_2, y_2)\)	\(\Delta x\)	\(\Delta y\)	\(a\)
\(f(x)\)	\((5, -3)\)	\((9, 5)\)
\(g(x)\)	\((3, 2)\)	\((7, 2)\)
\(h(x)\)	\((1, 1)\)	\((5, 5)\)
\(p(x)\)	\((2, -4)\)	\((-2, 4)\)
\(q(x)\)	\((0, 3)\)	\((4, 1)\)

Fasit

Funksjon	\((x_1, y_1)\)	\((x_2, y_2)\)	\(\Delta x\)	\(\Delta y\)	\(a\)
\(f(x)\)	\((5, -3)\)	\((9, 5)\)	\(4\)	\(8\)	\(2\)
\(g(x)\)	\((3, 2)\)	\((7, 2)\)	\(4\)	\(0\)	\(0\)
\(h(x)\)	\((1, 1)\)	\((5, 5)\)	\(4\)	\(4\)	\(1\)
\(p(x)\)	\((2, -4)\)	\((-2, 4)\)	\(-4\)	\(8\)	\(-2\)
\(q(x)\)	\((0, 3)\)	\((4, 1)\)	\(4\)	\(-2\)	\(-\dfrac{1}{2}\)

---

Oppgave 2

Bruk ettpunktsformelen $$y - y_1 = a(x - x_1)$$ til å bestemme funksjonsuttrykkene i oppgavene nedenfor.

a

Grafen til en lineær funksjon \(f\) har stigningstall \(2\) og går gjennom punktet \((1, 2)\).

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = 2x \]

b

Grafen til en lineær funksjon \(g\) har stigningstall \(-3\) og går gjennom punktet \((2, 1)\).

Bestem \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = -3x + 7 \]

c

Grafen til en lineær funksjon \(h\) har stigningstall \(1/2\) og går gjennom punktet \(\left(3, -\dfrac{1}{2}\right)\).

Bestem \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = \dfrac{1}{2}x - 2 \]

---

Nyttige formler

\[ a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

\[ y - y_1 = a(x - x_1) \]

Oppgave 3

Grafen til en lineær funksjon \(g\) går gjennom punktene \((1, 2)\) og \((5, 6)\).

a

Bestem stigningstallet til \(g\).

Fasit

\[ a = 1 \]

Løsning

Vi bruker topunktsformelen:

\[ a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{6-2}{5-1} = \dfrac{4}{4} = 1 \]

b

Bestem \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = x + 1 \]

Løsning

Vi bruker ettpunktsformelen og får:

\[\begin{align*} y - y_1 &= a(x - x_1) \\ \\ y - 2 &= 1(x-1) \\ \\ y - 2 &= x - 1 \\ \\ y - 2 \textcolor{red}{+2} &= x - 1 \textcolor{red}{+2} \\ \\ y &= x - 1 + 2 \\ \\ y &= x + 1 \\ \end{align*}\]

Dermed er

\[ g(x) = x + 1 \]

---

Oppgave 4

a

En lineær funksjon \(f\) har stigningstall \(7\) og skjærer \(x\)-aksen i \(x = 2\).

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = 7x - 14 \]

b

En lineær funksjon \(g\) har stigningstall \(3\) og skjærer \(x\)-aksen i \(x = -2\).

Bestem \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = 3x + 6 \]

c

En lineær funksjon \(h\) skjærer gjennom linja \(y = 2\) når \(x = 3\) og skjærer \(x\)-aksen i \(x = 4\).

Bestem \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = -2x + 8 \]

---

Oppgave 5

En lineær funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 3x - 2. \]

En annen lineær funksjon \(g\) går gjennom punktene \((1, -1)\) og \((3, f(3))\).

a

Bestem stigningstallet til \(g\).

Fasit

\[ a = 4 \]

Løsning

Vi finner først

\[ f(3) = 3\cdot 3 - 2 = 9 - 2 = 7. \]

Deretter bruker vi topunktsformelen til å regne ut stigningstallet:

\[ a = \dfrac{7 - (-1)}{3 - 1} = \dfrac{7 + 1}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 \]

b

Bestem \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = 4x - 5 \]

Løsning

Vi bruker ettpunktsformelen med stigningstallet \(a = 4\) og punktet \((1, -1)\) som gir:

\[\begin{align*} y - y_1 &= a(x - x_1) \\ \\ y - (-1) &= 4(x - 1) \\ \\ y + 1 &= 4(x - 1) \\ \\ y + 1 &= 4x - 4 \\ \\ y &= 4x - 4 - 1 \\ \\ y &= 4x - 5 \\ \end{align*}\]

Altså er

\[ g(x) = 4x - 5. \]

---

Oppgave 6

Grafene til to lineære funksjoner \(f\) og \(g\) er vist i Fig. 3.16. Grafen til \(f\) er parallell med grafen til \(g\).

Fig. 3.16 viser grafen til to lineære funksjoner \(f\) og \(g\). Grafen til \(f\) og \(g\) er parallelle.

a

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = -2x + 1 \]

b

Bestem \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = -2x - 3 \]

---

Oppgave 7

Grafen til en lineær funksjon \(g\) er vist i Fig. 3.17.

Fig. 3.17 viser grafen til en lineær funksjon \(g\), og to punkter på grafen.

a

Bestem hvor grafen til \(g\) skjærer \(y\)-aksen.

Fasit

\[ y = -2 \]

b

En annen funksjon \(h\) er parallell med grafen til \(g\) og skjærer \(y\)-aksen i \(y = 2\).

Bestem \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = 3x + 2 \]

Oppgave 8

Grafene til to lineære funksjoner \(f\) og \(g\) er vist i Fig. 3.18. Avstanden fra origo til det nærmeste punktet på de to grafene er det samme. Grafene er parallelle.

Bestem \(f(x)\).

Fig. 3.18 viser grafene til to lineære funksjoner \(f\) og \(g\). Avstanden fra origo til det nærmeste punktet på de to grafene er det samme. Grafene er parallelle.

Fasit

\[ f(x) = x + 2 \]

Oppgave 9

Under vises et program som regner ut funksjonsuttrykket til en lineær funksjon \(f\), men programmet er plassert i tilfeldig rekkefølge.

a

Løs puslespillet ved å sette kodelinjene i riktig rekkefølge.
Forutsi hva som skrives ut av programmet. Kjør programmet og sjekk svaret!

b

Endre programmet slik at det finner funksjonsuttrykket til en lineær funksjon som går gjennom punktene \((1, 2)\) og \((3, 6)\).
Sjekk at programmet finner riktig funksjon ved regning.

Løsning

Vi finner først stigningstallet ved hjelp av topunktsformelen:

\[ a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{6-2}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2 \]

Deretter bruker vi ettpunktsformelen og får:

\[\begin{align*} y - y_1 &= a (x - x_1) \\ \\ y - 2 &= 2(x-1)\\ \\ y - 2 &= 2x - 2 \\ \\ y - 2 \textcolor{red}{+2} &= 2x - 2\textcolor{red}{+2} \\ \\ y &= 2x \end{align*}\]

Vi ser at det gir funksjonen \(y = f(x) = 2x\).

c

Kan du forklare kodelinjen b = y1 - a * x1?
Hva representerer variabelen b?
Kan du komme fram til formelen?

Løsning

Ved å skrive om ettpunktsformelen, ser vi at

\[\begin{align*} y - y_1 &= a(x - x_1) \\ \\ y - y_1 \textcolor{green}{+ y_1} &= a(x - x_1) \textcolor{green}{+ y_1} && \text{Legger til $y_1$ på hver side} \\ \\ y &= a(x - x_1) + y_1 \\ \\ y &= ax + \underbrace{\textcolor{red}{(y_1 - a \cdot x_1)}}_{\displaystyle b} && \text{Ganget ut parentesen} \end{align*}\]

Vi kan se at det som står i rødt må være konstantleddet ved å sammenligne med den generelle formen:

\[ y = ax + b. \]

Dermed har vi at

\[ b = y_1 - a \cdot x_1. \]

Linjen b = y1 - a * x1 regner derfor ut konstantleddet til funksjonen.