5.2. Algebraisk løsning

Du har kanskje tidligere lært om ulike løsningsstrategier for å løse lineære likningssystemer algebraisk. I dette kapittelet skal vi ta for oss to løsningsmetoder for likningssystemer.

Læringsmål: algebraisk løsning av lineære likningssystemer

Etter dette delkapittelet, er målet at du skal:

• Kunne løse lineære likningssystemer med to variabler ved hjelp av innsettingsmetoden og addisjonsmetoden.

• Kunne sette opp lineære likningssystemer for koeffisientene til en lineær funksjon.

• Kunne sette opp lineære likningssystemer for praktiske situasjoner.

Innsettingsmetoden

Før vi går løs på et eksempel, skal vi gi en kort beskrivelse av innsettingsmetoden.

Innsettingsmetoden

Gitt to lineære likninger med to variabler \(x\) og \(y\), gjør vi følgende:

Steg 1:

Løs én av likningene med hensyn på \(y\).

Steg 2

Sett uttrykket for \(y\) inn i den andre likningen og løs likningen for \(x\).

Steg 3

Sett verdien for \(x\) inn i én av likningene og regn ut verdien til \(y\).

Merk at beskrivelsen over fungerer også motsatt vei (bytt rollen til \(x\) og \(y\) i alle stegene).

Vi starter med å se på et eksempel på hvordan vi kan løse et likningssystem med to variabler ved hjelp av innsettingsmetoden.

Eksempel 1: innsettingsmetoden

Løs likningssystemet med innsettingsmetoden:

\[\begin{align*} 2x + y & = 5 \label{1a} \quad\quad\quad \tag{1a} \\ x - y & = 1 \label{1b} \quad\quad\quad \tag{1b} \end{align*}\]

Løsning

Steg 1

Vi løser likningen \(\eqref{1b}\) med hensyn på \(y\):

\[ x - y = 1 \quad \iff \quad y = x - 1. \]

Steg 2

Vi setter inn \(y = x - 1\) i likning \(\eqref{1a}\) som gir:

\[\begin{align*} 2x + \underbrace{x - 1}_{y} & = 5 \\ \\ 3x - 1 & = 5 \\ \\ 3x & = 6 \\ \\ x & = 2. \end{align*}\]

Steg 3

Nå setter vi inn løsningen vår for \(x\) i enten likning \(\eqref{1a}\) eller \(\eqref{1b}\) (det spiller ingen rolle hvilken, så vi velger den som gir minst regning). Vi velger å sette inn i likning \(\eqref{1b}\) siden vi allerede har løst denne likningen for \(y\):

\[ y = 2 - 1 = 1. \]

Vi kan uttrykke løsningen av likningsystemet på to måter, enten som et likningssystem eller som en løsningsmengde:

Løsning som likningssystem

\[ x = 2 \quad \land \quad y = 1. \]

Løsningsmengde

\[ (x, y) \in \{(2, 1)\}. \]

Så er det din tur!

Underveisoppgave 1

Bruk innsettingsmetoden til å løse likningssystemet

\[\begin{split} \begin{align*} 3x + 2y & = 5 \label{2a} \quad\quad\quad \tag{2a} \\ -2x + y & = 6 \label{2b} \quad\quad\quad \tag{2b} \end{align*} \end{split}\]

Fasit

Løsning som likningssystem

\[ x = -1 \quad \land \quad y = 4. \]

Løsningsmengde

\[ (x, y) \in \{(-1, 4)\}. \]

Løsning

Steg 1

Vi løser likning \(\eqref{2b}\) med hensyn på \(y\):

\[ -2x + y = 6 \quad \Leftrightarrow \quad y = 2x + 6. \]

Steg 2

Vi plugger uttrykket for \(y\) inn i likning \(\eqref{2a}\):

\[ 3x + 2\cdot \underbrace{(2x + 6)}_{y} = 5 \quad \Leftrightarrow \quad 3x + 4x + 12 = 5 \quad \Leftrightarrow \quad 7x = -7 \quad \Leftrightarrow \quad x = -1. \]

Steg 3

Vi plugger verdien for \(x\) inn i likning \(\eqref{2b}\) for å regne ut den tilhørende verdien til \(y\):

\[ y = 2\cdot (-1) + 6 = 4. \]

Dermed er løsningen av likningssystemet

Løsning som likningssystem

\[ x = -1 \quad \land \quad y = 4. \]

Løsningsmengde

\[ (x, y) \in \{(-1, 4)\}. \]

Addisjonsmetoden

Addisjonsmetoden er en annen måte for å løse lineære likningssystemer med to variabler.

Begrepsforklaring: multiplum

Begrepet multiplum betyr så så mange ganger av noe. For eksempel er \(2x\) et multiplum av \(x\) der \(2\) er multiplumet. Men det er også \(x/2\), der \(1/2\) er multiplumet. Noen definisjoner begrenser det til å bare gjelde heltall, men vi skal ta oss friheten til å bruke det for alle reelle tall.

Addisjonsmetoden

Gitt to lineære likninger med to variabler \(x\) og \(y\), gjør vi følgende:

Steg 1:

Legg til et multiplum av en av likningene til den andre likningen slik at én av variablene forsvinner. Løs likningen for den gjenværende variabelen.

Steg 2

Sett inn løsningene i én av likningene for å bestemme verdien til den siste variabelen.

Vi går løs på et eksempel:

Forkortelser: V.S. og H.S.

Forkortelsene under står for:

V.S.

Venstre side.

H.S.

Høyre side.

Eksempel 2: addisjonsmetoden

Et likningssystem er gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} x + 3y & = -7 \label{3a} \quad\quad\quad \tag{3a} \\ 3x - 2y & = 12 \label{3b} \quad\quad\quad \tag{3b} \end{align*} \end{split}\]

Bruk addisjonsmetoden til å løse likningssystemet.

Løsning

Steg 1

Vi kan ta likning \(\eqref{3a}\) og gange den med \(3\) for å så trekke det fra likning \(\eqref{3b}\) for at \(x\) skal forsvinne:

\[ \underbrace{3x - 2y}_{\text{V.S. Likning } \eqref{3b}} - 3\cdot\underbrace{(x + 3y)}_{\text{V.S. Likning } \eqref{3a}} =\underbrace{12}_{\text{H.S. Likning } \eqref{3b}} - 3\cdot \underbrace{(-7)}_{\text{H.S. Likning } \eqref{3a}} \]

som gir

\[ 3x - 2y - 3x - 9y = 12 + 21, \]

som kan skrive om til

\[ -11y = 33 \quad \Leftrightarrow \quad y = -3. \]

Steg 2

Vi setter inn verdien for \(y\) inn i en av likningene for å bestemme verdien til \(x\). Vi velger likning \(\eqref{3a}\):

\[ x + 3\cdot(-3) = -7 \quad \Leftrightarrow \quad x - 9 = -7 \quad \Leftrightarrow \quad x = 2. \]

Dermed er løsningen av likningssystemet

\[ x = 2 \quad \land \quad y = -3. \]

Så er det din tur!

Underveisoppgave 2

Bruk addisjonsmetoden til å løse likningssystemet

\[\begin{split} \begin{align*} 4x + y & = 1 \label{4a} \quad\quad\quad \tag{4a} \\ -2x - 5y & = 4 \label{4b} \quad\quad\quad \tag{4b} \end{align*} \end{split}\]

Fasit

Løsning som likningssystem

\[ x = \frac{1}{2} \quad \land \quad y = -1. \]

Løsningsmengde

\[ (x, y) \in \left\{\left(\frac{1}{2}, -1\right)\right\} \]

Løsning

Vi kan legge til et multiplum av likning \(\eqref{4a}\) til likning \(\eqref{4b}\) for at \(x\) skal forsvinne. Legger vi til \(5\) ganget med likning \(\eqref{4a}\) til likning \(\eqref{4b}\) oppnår vi dette:

\[ 5\cdot \underbrace{(4x + y)}_{\text{V.S. likning } \eqref{4a}} + \underbrace{(-2x - 5y)}_{\text{V.S. likning } \eqref{4b}} = 5\cdot \underbrace{1}_{\text{H.S. likning } \eqref{4a}} + \underbrace{4}_{\text{H.S. likning } \eqref{4b}}, \]

eller skrevet uten annotasjoner

\[ 5(4x + y) + (-2x - 5y) = 5\cdot 1 + 4, \]

som vi kan skrive om til

\[ 20x + 5y - 2x - 5y = 9 \quad \iff \quad 18x = 9 \quad \iff \quad x = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}. \]

Så plugger vi verdien inn i likning \(\eqref{4a}\) for å finne verdien til \(y\):

\[ 4\cdot \frac{1}{2} + y = 1 \quad \iff \quad 2 + y = 1 \quad \iff \quad y = -1. \]

Altså er løsningen av likningssystemet gitt ved

\[ x = \frac{1}{2} \quad \land \quad y = -1. \]

Anvendelser

Lineære likningssystemer dukker opp i mange praktiske situasjoner. Vi skal se på hvordan vi går fra en praktisk situasjon til et lineært likningssystem.

Eksempel 3: fra praktisk situasjon til likningssystem

Anna skal plante trær i en park. Hun skal plante to forskjellige typer som tar opp ulik plass. Eiketrær trenger 4 kvadratmeter plass, mens bjørketrær trenger 2 kvadratmeter plass. Anna har totalt 100 kvadratmeter til rådighet. Hun har bestemt seg for å plante 40 trær.

Sett opp et likningssystem som beskriver den praktiske situasjonen.

Løsning

Vi lar \(x\) være antall eiketrær og \(y\) være antall bjørketrær. Siden det skal være 40 trær til sammen, kan vi sette opp den ene likningen som:

\[\begin{align*} x + y &= 40 && \text{(Antall trær til sammen)} \end{align*}\]

Ett eiketre tar opp 4 kvadratmeter og bjørketrær tar opp 2 kvadratmeter. Vi har 100 kvadratmeter til sammen, som betyr at vi kan sette opp den andre likningen som:

\[\begin{align*} \underbrace{4x}_\text{Plass for eiketrær} + \underbrace{2y}_\text{Plass for bjørketrær} &= 100 && \text{(Totalt antall kvadratmeter)} \end{align*}\]

Dette gir oss likningssystemet

\[\begin{align*} x + y & = 40 \\ 4x + 2y & = 100 \end{align*}\]