3.3. Bestemme funksjonsuttrykk

Læringsmål

Etter dette delkapittelet, er målet at du skal:

• Kunne bestemme stigningstallet til en lineær funksjon med topunktsformelen.

• Kunne bestemme funksjonsuttrykket til en lineær funksjon med ettpunktsformelen.

Lineære funksjoner: hva trengs?

Lineære funksjoner: hva trengs?

Funksjonsuttrykket til en lineær funksjon \(f\) er entydig bestemt av enten

1. To punkter på grafen til \(f\),

   eller

2. Stigningstallet og ett punkt på grafen til \(f\).

Vi kan altså bestemme funksjonsuttrykket dersom vi enten kjenner til to punkter på grafen til \(f\), eller dersom vi kjenner til stigningstallet og ett punkt på grafen til \(f\). Typisk vil vi måtte bestemme stigningstallet med topunktsformelen først, etterfulgt av å bestemme funksjonsuttrykket med ettpunktsformelen.

Topunktsformelen

Når vi kjenner til to punkter på grafen til en lineær funksjon \(f\), kan vi bestemme stigningstallet ved hjelp av det vi skal kalle for topunktsformelen.

\(\Delta\)-symbolet

Symbolet \(\Delta\) er en gresk bokstav som leses som “delta”. Vi bruker den ofte for å representere endringer. Her for eksempel, er \(\Delta x\) endringen i \(x\)-verdien.

Topunktsformelen

Hvis grafen til en lineær funksjon \(f\) går gjennom to punkter \((x_1, y_1)\) og \((x_2, y_2)\), så er stigningstallet \(a\) gitt ved

(3.1)\[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \, , \]

der

\[ \Delta x = x_2 - x_1 \quad \text{og} \quad \Delta y = y_2 - y_1. \]

Her er \(\Delta x\) endringen i \(x\)-verdiene og \(\Delta y\) endringen i \(y\)-verdien. Se Fig. 3.11 for en illustrasjon.

Fig. 3.11 Viser en grafen til en lineær funksjon \(f\) og to punkter \((x_1, y_1)\) og \((x_2, y_2)\) på grafen. Endringen i \(x\)-verdien er \(\Delta x = x_2 - x_1\), og endringen i \(y\)-verdien er \(\Delta y = y_2 - y_1\) er illustrert som stiplede linjer.

Vi tar et eksempel:

Eksempel 1: topunktsformelen

En lineær funksjon \(f\) går gjennom punktene \((1, 2)\) og \((7, 6)\).
Bestem stigningstallet til \(f\).

Løsning

Vi bruker topunktsformelen med

\[ (x_1, y_1) = (1, 2) \quad \text{og} \quad (x_2, y_2) = (7, 6). \]

Da får vi

\[ \Delta x = x_2 - x_1 = 7 - 1 = 6 \quad \text{og} \quad \Delta y = y_2 - y_1 = 6 - 2 = 4. \]

Dermed blir stigningstallet

\[ a = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \, . \]

Så er det din tur!

Underveisoppgave 1

Under vises en tabell over noen lineære funksjoner der det er oppgitt to punkter som hver av grafene går gjennom.

Fyll ut tabellen.

Funksjon	\((x_1, y_1)\)	\((x_2, y_2)\)	\(\Delta x\)	\(\Delta y\)	\(a\)
\(f(x)\)	\((1, 2)\)	\((3, 4)\)
\(g(x)\)	\((2, 3)\)	\((4, 1)\)
\(h(x)\)	\((0, 1)\)	\((2, 5)\)
\(p(x)\)	\((-2, 4)\)	\((1, -5)\)
\(q(x)\)	\((-1, 4)\)	\((3, 4)\)

Fasit

Funksjon	\((x_1, y_1)\)	\((x_2, y_2)\)	\(\Delta x\)	\(\Delta y\)	\(a\)
\(f(x)\)	\((1, 2)\)	\((3, 4)\)	\(2\)	\(2\)	\(1\)
\(g(x)\)	\((2, 3)\)	\((4, 1)\)	\(2\)	\(-2\)	\(-1\)
\(h(x)\)	\((0, 1)\)	\((2, 5)\)	\(2\)	\(4\)	\(2\)
\(p(x)\)	\((-2, 4)\)	\((1, -5)\)	\(3\)	\(-9\)	\(-3\)
\(q(x)\)	\((-1, 4)\)	\((3, 4)\)	\(4\)	\(0\)	\(0\)

Ettpunktsformelen

Dersom vi kjenner til stigningstallet til en lineær funksjon \(f\) og et punkt \((x_1, y_1)\) på grafen til \(f\), kan vi bestemme funksjonsuttrykket til \(f\) ved hjelp av ettpunktsformelen.

Vi tar utgangspunkt i Fig. 3.12.

Fig. 3.12 Viser en lineær funksjon et kjent punkt \((x_1, y_1)\) og et vilkårlig punkt \((x, y)\) er tegnet inn.

Vi tenker oss at \((x_1, y_1)\) er et fastholdt punkt, mens \((x, y)\) er et vilkårlig punkt på grafen til $f$ Det vil si et punkt som kan varieres så lenge punktet ligger på grafen til $f$. Da kan vi skrive stigningstallet \(a\) som

\[ a = \frac{y - y_1}{x - x_1} \, . \]

Stigningstallet vil være det samme uansett hvilke to punkter \(a\) er regnet ut fra (siden det er en konstant). Dermed kan vi skrive om uttrykket som

\[\begin{align*} a &= \frac{y - y_1}{x - x_1} \\ \\ a \cdot \textcolor{red}{(x - x_1)} &= \frac{y - y_1}{\cancel{x - x_1}} \cdot \cancel{\textcolor{red}{(x - x_1)}} && \text{Gang med $(x - x_1)$. Stryk nevner.} \\ \\ a(x - x_1) &= y - y_1. \end{align*}\]

Vi har nå kommet fram til ettpunktsformelen.

Ettpunktsformelen

Dersom vi kjenner stigningstallet \(a\) og et punkt \((x_1, y_1)\) på grafen til en lineær funksjon \(f\), kan vi bestemme funksjonsuttrykket til funksjonen ved hjelp av ettpunktsformelen

\[ y - y_1 = a(x - x_1) \, , \]

der \(y = f(x)\).

Vi tar et eksempel

Eksempel 2: ettpunktsformelen

En lineær funksjon \(f\) har stigningstall \(-2\) og går gjennom punktet \((1, 3)\).

Bestem \(f(x)\).

Løsning

Vi kjenner til stigningstallet \(\textcolor{teal}{a = -2}\) og ett punkt \((\textcolor{red}{x_1}, \textcolor{purple}{y_1}) = (\textcolor{red}{1}, \textcolor{purple}{3})\).
Da kan vi bruke ettpunktsformelen som følger:

\[\begin{align*} y - \textcolor{purple}{y_1} &= \textcolor{teal}{a}(x - \textcolor{red}{x_1}) \\ \\ y - \textcolor{purple}{3} & = \textcolor{teal}{-2}(x - \textcolor{red}{1}) \\ \\ y - 3 \textcolor{red}{+ 3} & = -2(x - 1) \textcolor{red}{+ 3} && \text{Legger til $3$ på hver side} \\ \\ y & = -2(x - 1) + 3 \\ \\ y & = -2x + 2 + 3 && \text{Utvider parentesen}\\ \\ y & = -2x + 5 && \text{Trekker sammen}. \end{align*}\]

Dermed er

\[ f(x) = -2x + 5. \]

Og så er det din tur!

Underveisoppgave 2

En lineær funksjon \(g\) har stigningstall \(4\) og går gjennom punktet \((-1, -3)\).

Bestem \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = 4x + 1. \]

Løsning

Vi har stigningstallet \(a = 4\) og punktet \((x_1, y_1) = (-1, -3)\).
Da kan vi bruke ettpunktsformelen som følger:

\[\begin{align*} y - y_1 &= a(x - x_1) \\ \\ y - (-3) &= 4(x - (-1)) \\ \\ y + 3 &= 4(x + 1) && \text{Åpner opp parenteser og endrer fortegn}\\ \\ y + 3 &= 4x + 4 && \text{Utvider parentesen.}\\ \\ y + 3 \textcolor{red}{- 3} &= 4x + 4 \textcolor{red}{- 3} && \text{Trekker fra $3$ på hver side.}\\ \\ y &= 4x + 1 && \text{Legger sammen.} \end{align*}\]

Altså er

\[ g(x) = 4x + 1. \]