5.1. Grafisk løsning

På samme måte som vi løste likninger, kan vi også løse likningssystemer grafisk.

Læringsmål

Etter dette delkapittelet, er målet at du skal:

• Kunne veksle mellom ulike former for likninger for linjer i planet.

• Løse lineære likningssystemer grafisk.

• Kunne uttrykke løsningen av et lineært likningssystem som et likningssystem eller som en løsningsmengde.

Likningssystemer vs likningssett

På ungdomsskolen har du kanskje lært om likningssett. Det viser seg at begrepet likningssystem betyr akkurat det samme. Vi kommer til å bruke likningssystem gjennom denne boka fordi dette er begrepet som er brukt av Utdanningsdirektoratet i læreplanen, og fordi dette er begrepet som er brukt i høyere utdanning innenfor matematikktunge fag.

Linjer på formen \(Ax + By = C\)

Frem til nå, har vi jobbet med linjer på formen \(y = ax + b\) og sett at disse samsvarer med lineære funksjoner. Men dette er ikke den mest generelle formen for linjer. Nå skal vi se på en mer generell form.

Generelle linjer

En linje i planet er alle punkter \((x, y)\) som oppfyller en likning på formen

\[ Ax + By = C, \]

der \(A, B, C \in \mathbb{R}\) er konstanter.

Eksempel 1: linjer på formen \(Ax + By = C\)

En linje på formen \(2x + 3y = 6\) kan skrives om til formen \(y = ax + b\) med litt algebra:

\[\begin{align*} 2x + 3y & = 6 \\ \\ 2x \textcolor{red}{- 2x} + 3y & = \textcolor{red}{- 2x} + 6 && \text{Trekker fra $2x$ på hver side} \\ \\ 3y & = -2x + 6 \\ \\ \frac{\cancel{3}y}{\cancel{\textcolor{red}{3}}} & = \frac{-2x}{\textcolor{red}{3}} + \frac{\cancelto{\displaystyle \textcolor{teal}{2}}{6}}{\cancel{\textcolor{red}{3}}} && \text{Deler med $3$} \\ \\ y & = -\frac{2}{3}x + 2 \end{align*}\]

Men det betyr at

\[ 2x + 3y = 6 \quad \iff \quad y = -\frac{2}{3}x + 2. \]

Eksempel 2: linjer på formen \(Ax + By = C\)

En fordel med den generelle formen på likningen \(Ax + By = C\), er at den lar oss beskrive alle type linjer:

Skrå linjer

Form på likning:

\(Ax + By = C\) eller \(y = ax + b\)

Fig. 5.1 viser en skrå linje \(y = -\dfrac{4}{3}x + \dfrac{2}{3}\) som også kan skrives på formen \(4x + 3y = 2\).

Horisontale linjer

Form på likning:

\(y = \text{konstant}\)

Fig. 5.2 viser en horisontal linje \(y = 3\).

Vertikale linjer

Form på likning:

\(x = \text{konstant}\)

Fig. 5.3 viser en vertikal linje \(x = -2\).

Grafisk løsning av likningssystemer

Symbolforklaring: \(\land\)

Symbolet \(\land\) betyr “og samtidig”. Når vi skriver

\[ x = 2 \quad \land \quad y = 3, \]

mener vi at \(x = 2\) og samtidig er \(y = 3\).

Grafisk løsning av likningssystemer

Gitt et lineært likningssystem

\[\begin{align*} Ax + By & = C \\ Dx + Ey & = F \end{align*}\]

er løsningen av likningssystemer skjæringspunktet \((x_1, y_1)\) mellom de to linjene. Se Fig. 5.4.

Fig. 5.4 Løsningen av likningssystemet \(Ax + By = C \, \land \, Dx + Ey = F\) er skjæringspunktet \((x_1, y_1)\) mellom de to linjene.

Løsningen skriver vi enten som et likningssystem eller som en løsningsmengde:

\[ \underbrace{x = x_1 \quad \land \quad y = y_1}_{\text{Likningssystem}} \quad \text{eller} \quad \underbrace{(x, y) \in \{(x_1, y_1)\}}_{\text{Løsningsmengde}}. \]

Vi starter med å se på et eksempel:

Eksempel 3: grafisk løsning av likningssystemer

Løs likningssystemet grafisk

\[\begin{align*} -2x + y & = 1 \tag{1}\label{eq-lineære-likningssystemer-grafisk-eksempel-3a} \\ x + y & = 4 \tag{2}\label{eq-lineære-likningssystemer-grafisk-eksempel-3b} \\ \end{align*}\]

Løsning

For å løse likningssystemet grafisk, skriver vi om de to likningene til formen \(y = ax + b\) så vi kan tolke de som lineære funksjoner:

For likning \(\eqref{eq-lineære-likningssystemer-grafisk-eksempel-3a}\):

\[\begin{align*} -2x + y & = 1 \\ \\ -2x \textcolor{red}{+ 2x} + y & = 1 \textcolor{red}{+ 2x} && \text{Trekker fra $2x$ på hver side} \\ \\ y & = 2x + 1 \end{align*}\]

Og tilsvarende for likning \(\eqref{eq-lineære-likningssystemer-grafisk-eksempel-3b}\):

\[\begin{align*} x + y & = 4 \\ \\ x \textcolor{red}{- x} + y & = 4 \textcolor{red}{-x} && \text{Trekker fra $x$ på hver side} \\ \\ y & = -x + 4 \end{align*}\]

Dermed får vi at likningssystemet kan skrives som

\[\begin{align*} y & = 2x + 1 \\ y & = -x + 4 \end{align*}\]

For å løse likningssystemet grafisk, tolker vi de to linjene som lineære funksjoner

\[ f(x) = 2x + 1 \quad \text{og} \quad g(x) = -x + 4. \]

så finner vi skjæringspunktet mellom linjene.

Fig. 5.5 Grafene til de lineære funksjonene \(f(x) = 2x + 1\) og \(g(x) = -x + 4\). Skjæringspunktet mellom de to grafene svarer til løsningen av likningssystemet.

Løsningen av likningssystemet svarer til koordinatene til skjæringspunktet mellom de to lineære funksjonene. Vi kan lese av at dette er \((x, y) = (1, 3)\). Da kan vi uttrykke løsningen av likningssystemet enten som et likningssystem eller som en løsningsmengde:

Løsning som likningssystem

\[ x = 1 \quad \land \quad y = 3. \]

Løsning som løsningsmengde

\[ (x, y) \in \{(1, 3)\}. \]

Underveisoppgave 1

Bruk figuren under til å løse likningssystemet

(5.1)\[\begin{align} 4x + 3y &= 9 \\ x - 2y &= 5 \\ \end{align}\]

Uttrykk løsningen som

1. Et likningssystem

2. En løsningsmengde

Fig. 5.6 Grafisk representasjon av likningssystemet

Fasit

Løsning som likningssystem

\[ x = 3 \quad \land \quad y = -1. \]

Løsning som løsningsmengde

\[ (x, y) \in \{(3, -1)\}. \]

Løsning

Fra figuren ser vi at de to linjene skjærer hverandre i \((x, y) = (3, -1)\). Dermed er løsningen av likningssystemet

Løsning som likningssystem

\[ x = 3 \quad \land \quad y = -1. \]

Løsning som løsningsmengde

\[ (x, y) \in \{(3, -1)\}. \]