6.2. Algebraisk løsning

Læringsmål: algebraisk løsning av lineære ulikheter

Etter dette delkapittelet, er målet at du skal:

• Løse lineære ulikheter algebraisk.

• Kunne tegne og tolke en fortegnslinje for en lineær funksjon.

---

Løsning ved regning

Når vi jobber med lineære ulikheter, kan vi i stor grad bruke de samme metodene som vi bruker for å løse lineære likninger. Vi kan

• legge til og trekke fra et tall på begge sider av ulikheten

• gange og dele med et tall på begge sider av ulikheten

Snu ulikhetstegnet når vi ganger med et negativt tall

Å snu ulikhetstegnet når vi ganger med et negativt tall har en logisk årsak. Tenk deg at vi ser på en ulikhet som ser sann, for eksempel

\[ 3 < 5 \]

Hvis vi nå bare ganger med \(-1\) på begge sider, får vi

\[ -3 < -5 \]

Men dette er ikke lenger en sann påstand. Snur vi derimot ulikhetstegnet, får vi en sann påstand

\[ -3 > -5 \]

Sånn kan vi forstå hvorfor vi snur ulikhetstegnet når vi ganger med et negativt tall.

Eksempel 1

Løs ulikheten

\[ 2x + 3 < 3x - 4 \]

algebraisk.

Løsning

\[\begin{align*} 2x + 3 &< 3x - 4 \\ \\ 2x \textcolor{red}{ - 3x} + 3 &< 3x \textcolor{red}{ - 3x} - 4 && \text{Trekk fra $3x$ på hver side} \\ \\ -x + 3 &< -4 \\ \\ -x + 3 \textcolor{red}{- 3} &< -4 \textcolor{red}{- 3} && \text{Trekk fra $3$ på hver side} \\ \\ -x &< -7 \\ \\ -x \textcolor{red}{\cdot (-1)} &> -7 \textcolor{red}{\cdot (-1)} && \text{Ganger med $(-1)$ og snur ulikhetstegnet} \\ \\ x &> 7 \end{align*}\]

Løsningen kan derfor uttrykkes som

Ulikhet

\[ x > 7 \]

Løsningsmengde

\[ x \in \langle 7, \to \rangle \]

Underveisoppgave 1

Løs ulikheten

\[ 5x - 3 \geq -2x + 4 \]

algebraisk.

Fasit

Ulikhet

\[ x \geq 1 \]

Løsningsmengde

\[ x \in \left [1, \to \right \rangle \]

Løsning

\[\begin{align*} 5x - 3 &\geq -2x + 4 \\ \\ 5x \textcolor{red}{ + 2x} - 3 \textcolor{red}{ + 3} &\geq -2x \textcolor{red}{ + 2x} + 4 && \text{Legger til $2x$ på hver side} \\ \\ 7x - 3 &\geq 4 \\ \\ 7x - 3 \textcolor{red}{ + 3} &\geq 4 \textcolor{red}{ + 3} && \text{Legger til $3$ på hver side} \\ \\ 7x &\geq 7 \\ \\ \dfrac{\cancel{7}x}{\cancel{\textcolor{red}{7}}} &\geq \dfrac{7}{\textcolor{red}{7}} && \text{Deler med $7$ på hver side} \\ \\ x &\geq 1 \end{align*}\]

Vi kan oppgi løsningen enten som en ulikhet eller som en løsningsmengde

Ulikhet

\[ x \geq 1 \]

Løsningsmengde

\[ x \in \left [1, \to \right \rangle \]

---

Løsning med fortegnslinjer

Må det være farger?

Merk at fortegnslinjene ikke må ha farger, men da er det om linja er heltrukken eller stiplet som er angir fortegnet:

• positiv \(=\)

• negativ \(=\)

Fortegnslinjer

En fortegnslinje er en linje som viser fortegnet til en funksjon på et intervall. Vi bruker heltrukne og stiplede linjer for å skille mellom fortegnene som følger:

• \(=\) Positivt fortegn

• \(=\) Negativt fortegn

• Vi bruker \(0\) for å representere nullpunktet til funksjonen.

I Fig. 6.10 vises grafen til en lineær funksjon med \(x_1\) som nullpunkt.

Fig. 6.10 viser grafen til en lineær funksjon \(f\) med ett nullpunkt i \(x_1\).

Fortegnslinjen til \(f\) vil da være som vist i Fig. 6.11.

Fig. 6.11 viser fortegnslinjen til \(f\). De røde heltrukne linjene svarer til positivt fortegn. De blå stiplede linjene svarer til negativt fortegn.

---

Eksempel 2

Her viser vi tre lineære funksjoner og deres tilhørende fortegnslinje.

\(f(x) = 2x - 4\)

---

\(g(x) = -3x + 6\)

---

\(h(x) = \dfrac{1}{3}x + 1\)

---

---

Men hvordan bruker vi fortegnslinjer til å løse ulikheter? La oss se på et eksempel.

Eksempel 3

En ulikhet er gitt ved

\[ 3x + 5 \geq 2x - 1 \]

Løs ulikheten ved å bruke fortegnslinjer.

Løsning

Først skriver vi om ulikheten slik at høyre side er lik null:

\[\begin{align*} -2x + 5 &\geq 2x - 7 \\ \\ -2x + 5 \textcolor{red}{- 2x + 7} &\geq 2x - 7 \textcolor{red}{- 2x + 7}\\ \\ \underbrace{-4x + 12}_{\displaystyle f(x)} &\geq 0 \end{align*}\]

Deretter faktoriserer vi den lineære funksjonen på venstre side:

\[ f(x) = -4x + 12 = -4(x - 3) \]

Så tegner vi en fortegnslinje for alle faktorene i den lineære funksjonen. For å få den samlede fortegnslinjen til \(f(x)\), ganger vi sammen fortegnene til hver faktor. Vi kaller figuren vi får under for fortegnsskjemaet til \(f\).

Fig. 6.12 viser fortegnslinjene til \(-2\), \(x - 3\), og til \(f(x) = -4(x - 3)\). For å få fortegnlinja til \(f(x)\), ganger vi sammen fortegnene til hver faktor. Dette gir oss fortegnsskjemaet til \(f\).

Fra Fig. 6.12 kan vi se at \(f(x) \geq 0\) når \(x \leq 3\). Dermed er løsningen av den opprinnelige ulikheten

\[ -2x + 5 \geq 2x - 7 \quad \iff \quad x \leq 3 \quad \iff \quad x \in \left \langle \gets, 3 \right \rangle \]

---

Underveisoppgave 2

En ulikhet er gitt ved

\[ -2x + 8 < 0 \]

a

Tegn et fortegnsskjema for ulikheten.

Fasit

---

Løsning

La oss kalle venstre side av ulikheten for \(f(x) = -2x + 8\). Vi kan faktorisere \(f(x)\) slik:

\[ f(x) = -2x + 8 = -2(x - 4) \]

Så tegner vi fortegnsskjema som følger:

1. Tegn en fortegnslinje for hver faktor i \(f(x)\) – en for \(-2\) og en for \(x - 4\).

2. Gang sammen fortegnene til hver faktor for å få fortegnslinja til \(f(x)\).

Dette gir fortegnsskjemaet:

b

Bruk fortegnsskjema til å bestemme løsningsmengden til ulikheten.

Fasit

\[ x \in \langle 4, \to \rangle \]