3.2. Grafisk representasjon av lineære funksjoner#
Læringsmål: Grafisk representasjon av lineære funksjoner
Etter dette delkapittelet, er målet at du skal:
Kunne lese av koordinater i et koordinatsystem.
Kunne lese av funksjonsverdier fra grafen til en lineær funksjon.
Kunne lese av koeffisientene til en lineær funksjon fra grafen.
Koordinatsystemet#
Når vi jobber med funksjoner grafisk, kommer vi til å bruke koordinatsystemet og punkter i koordinatsystemet. Det er derfor viktig at vi kan lese og bruke koordinatssystemet godt før vi ser på grafisk representasjon av lineære funksjoner.
Koordinatsystemet
Koordinatsystemet består av to tallinjer som vi kaller for akser. De to aksene er:
\(x\)-aksen (den horisontale aksen - også kalt førsteaksen).
\(y\)-aksen (den vertikale aksen - også kalt andreaksen).
Punktet der aksene møtes kaller vi for origo. Origo har koordinatene \((0, 0)\).
For å finne et punkt \((x, y)\) i koordinatsystemet, går vi \(x\) plasser parallelt med \(x\)-aksen og \(y\) plasser parallelt med \(y\)-aksen. Da står vi på punktet \((x, y)\). Vi kaller \(x\)-verdien til punktet for \(x\)-koordinaten og \(y\)-verdien for \(y\)-koordinaten.
I Fig. 3.1 viser vi et konkret eksempel med punktet \((3, 2)\).
Fig. 3.1 viser et koordinatsystem med punktet \((3, 2)\). For å finne punktet går vi \(3\) plasser parallelt med \(x\)-aksen og \(2\) plasser parallelt med \(y\)-aksen.#
Funksjonsverdier fra graf#
Når er vi klare for å se på hvordan vi kan lese av funksjonsverdier fra grafen til en lineær funksjon.
Funksjonsverdier fra graf
Gitt grafen til en lineær funksjon \(f\), kan vi lese av funksjonsverdien \(f(x)\) ved å lese av \(y\)-koordinaten til et punkt \((x, y)\) på grafen til \(f\). Ideen er illustrert i Fig. 3.3.
Fig. 3.3 viser grafen til en lineær funksjon \(f\) og et punkt \((x, y) = (x, f(x))\) på grafen til \(f\). Funksjonsverdien \(f(x)\) leser vi av som \(y\)-koordinaten til punktet.#
Underveisoppgave 2
Fig. 3.4 vises grafen til en lineær funksjon \(f\).#
Sett sammen funksjonsverdiene med riktig \(y\)-koordinat.
Koeffisientene til en lineær funksjon#
Nå som vi vet hvordan vi leser av funksjonsverdier fra en graf, er det på tide å se på sammenhengen mellom grafen til en lineær funksjon og den algebraiske representasjonen av funksjonen. Det viser seg at koeffisientene \(a\) og \(b\) i en lineær funksjon \(f(x) = ax + b\) har en grafisk tolkning som lar oss hente ut egenskapene til funksjonen fra grafen.
“Stigningstall”
Merk at selv om \(a\) kalles for “stigningstall”, så kan \(a\) også være negativ. I dette tilfellet vil grafen til \(f\) gå nedover når \(x\) øker.
Koeffisientene til en lineær funksjon
For en lineær funksjon \(f(x) = ax + b\), vil koeffisientene \(a\) og \(b\) ha følgende grafiske tolkning:
- Stigningstall \(a\)
Bestemmer hvor mye funksjonsverdien \(f(x)\) endrer seg når vi øker \(x\) med \(1\). Det vil si når vi øker \(x \to x + 1\).
- Konstantledd \(b\)
Bestemmer hvor grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen. Det vil si hva funksjonsverdien er når \(x = 0\).
Fig. 3.5 viser en illustrasjon av sammenhengen mellom grafen til en lineær funksjon og koeffisientene \(a\) og \(b\).
Fig. 3.5 viser grafen til en lineær funksjon \(f(x) = ax + b\). Stigningstallet \(a\) bestemmer hvor mye funksjonsverdien endrer seg når vi øker \(x\) med \(1\). Konstantleddet \(b\) bestemmer hvor grafen skjærer \(y\)-aksen.#
Vi tar med noen eksempler så vi kan se sammenhengen tydligere:
Eksempel 2: Koeffisienter og grafer
I fanene under vises eksempler på grafene til lineære funksjoner og hvordan disse henger sammen med koeffisientene \(a\) og \(b\) i funksjonsuttrykket.
Fig. 3.6 viser grafen til \(f(x) = 2x + 1\). Grafen skjærer \(y\)-aksen i \(y = 1\) - derfor er \(b = 1\). Når vi øker verdien til \(x\) med \(1\), øker funksjonsverdien med \(2\) - derfor er \(a = 2\).#
Fig. 3.7 viser grafen til \(g(x) = x - 1\). Grafen skjærer \(y\)-aksen i \(y = -1\) - derfor er \(b = -1\). Når vi øker verdien til \(x\) med \(1\), øker funksjonsverdien med \(1\) - derfor er \(a = 1\).#
Fig. 3.8 viser grafen til \(h(x) = -4x + 3\). Grafen skjærer \(y\)-aksen i \(y = 3\) - derfor er \(b = 3\). Når vi øker verdien til \(x\) med \(1\), synker funksjonsverdien med \(4\) - derfor er \(a = -4\).#
Fig. 3.9 viser grafen til \(p(x) = -3x\). Grafen skjærer \(y\)-aksen i \(y = 0\) - derfor er \(b = 0\). Når vi øker verdien til \(x\) med \(1\), synker funksjonsverdien med \(3\) - derfor er \(a = -3\).#
Så er din tur!
