4.1. Grafisk løsning#
Læringsmål: grafisk løsning av lineære likninger
Etter dette delkapittelet, er målet at du skal:
Kunne løse lineære likninger ved hjelp av den grafiske representasjonen til lineære funksjoner.
Kunne forklare hva nullpunktet til en funksjon er og hvordan det henger sammen med grafen til en funksjon og en lineær likning.
Å løse likninger grafisk betyr at vi bruker den grafiske representasjonen til én eller flere funksjoner til å løse likningen ved å se på skjæringen mellom grafer.
Lineære likninger av typen \(ax + b = 0\)#
Vi skal starte med å se på lineære likninger av typen \(ax + b = 0\).
Nullpunkter vs røtter
Nullpunkter kalles ofte for røttene til en funksjon. Dette er bare et annet mye brukt begrep for det samme. Begrepet har ingenting med kvadratrøtter eller \(n\)-te røtter å gjøre.
Lineære likninger på formen \(ax + b = 0\)
Løsningen av likningen
svarer til \(x\)-koordinaten til skjæringspunktet mellom \(x\)-aksen og grafen til den lineære funksjonen
Vi kaller dette for nullpunktet til funksjonen.
Fig. 4.1 illustrerer ideen.
Fig. 4.1 viser grafen til en lineær funksjon \(f(x) = ax + b\) og skjæringen med \(x\)-aksen. Løsningen av likningen \(ax + b = 0\) er \(x\)-koordinaten til skjæringspunktet \((x_0, 0)\).#
Eksempel 1: likning av typen \(ax + b = 0\)
Løs likningen
Løsning
For å løse denne likningen grafisk, tegner vi grafen til funksjonen
og undersøker hvor grafen skjærer \(x\)-aksen (vi finner nullpunktet!).
Vi kan se grafen til \(f\) i Fig. 4.2.
Fig. 4.2 Grafen til \(f(x) = 2x - 4\). Grafen skjærer \(x\)-aksen i \(x = 2\).#
Siden grafen skjærer \(x\)-aksen i \(x = 2\), vil løsningen av likningen være
Så er det din tur!
Underveisoppgave 1
I Fig. 4.3 vises grafen til en lineær funksjon \(f\) som er gitt ved
Bestem nullpunktet til \(f\).
Fig. 4.3 Viser grafen til \(f(x) = -2x + 6\).#
Fasit
Løsning
Vi må bestemme hvor grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen. I Fig. 4.4 har vi annotert hvor grafen skjærer \(x\)-aksen.
Fig. 4.4 viser en annotert versjon av Fig. 4.3 som tydelig viser skjæringen mellom grafen til \(f\) og \(x\)-aksen. Grafen skjærer \(x\)-aksen i \(x = 3\).#
Vi kan se at grafen skjærer \(x\)-aksen i \(x = 3\). Dermed er nullpunktet til \(f\) gitt ved \(x = 3\).
Likninger på formen \(ax + b = k\)#
Vi skal nå se på likninger av typen \(ax + b = k\).
Lineære likninger på formen \(ax + b = k\)
Løsningen av likningen
svarer til \(x\)-koordinaten til skjæringspunktet mellom grafene til de lineære funksjonene
Fig. 4.5 viser grafen til to lineære funksjoner \(f(x) = ax + b\) og \(g(x) = k\) og skjæringen mellom dem. Løsningen av likningen er \(ax + b = k\) er \(x\)-koordinaten til skjæringspunktet, som navngitt \(x_0\).#
Vi går løs på et eksempel:
Eksempel 2: likning av typen \(ax + b = k\)
Løs likningen
Løsning
Vi starter med å lage en grafisk representasjon av funksjonene
Grafene til \(f\) og \(g\) er vist i Fig. 4.6. I figuren har vi også annotert hvor grafene skjærer hverandre.
Fig. 4.6 Grafen til \(f(x) = 2x + 3\) og \(g(x) = 5\).#
Skjæringspunktet mellom de to grafene er \((1, 5)\) som har \(x\)-koordinaten \(x = 1\). Dermed er løsningen av likningen
Så var det over til deg igjen!
Underveisoppgave 2
Under vises en interaktiv figur med de lineære funksjonene
Du kan endre på verdien til \(k\) med en slider.
Bruk den interaktive figuren til å bestemme løsningen av likningen
Fasit
\(x = -3\).
Løsning
Setter vi \(k = -3\), så skjærer grafen til \(f\) og linja \(y = -3\) i \((x, y) = (-3, -3)\). Løsningen av likningen er derfor \(x = -3\).
Bruk den interaktive figuren til å bestemme løsningen av likningen
Fasit
\(x = -1\).
Løsning
Setter vi \(k = 1\), så skjærer grafen til \(f(x)\) og linja \(y = 1\) i \((x, y) = (-1, 1)\). Løsningen av likningen er derfor \(x = -1\).
Likninger på formen \(ax + b = cx + d\)#
Vi skal nå se på likninger av typen \(ax + b = cx + d\).
Lineære likninger på formen \(ax + b = cx + d\)
Løsningen av likningen
svarer til \(x\)-koordinaten til skjæringspunktet mellom grafene til de to lineære funksjonene
I Fig. 4.7 er dette illustrert.
Fig. 4.7 Viser grafene til to lineære funksjoner \(f(x) = ax + b\) og \(g(x) = cx + d\) og skjæringen mellom dem. Løsningen av likningen er \(ax + b = cx + d\) er \(x\)-koordinaten til skjæringspunktet, som navngitt \(x_1\).#
Vi går løs på et eksempel:
Eksempel 3: likning av typen \(ax + b = cx + d\)
Løs likningen
Løsning
Vi tegner opp funksjonene til de lineære funksjonene:
Grafene til \(f\) og \(g\) er vist i Fig. 4.8. I figuren har vi også annotert hvor grafene skjærer hverandre.
Fig. 4.8 viser grafene til \(f(x) = x - 1\) og \(g(x) = -x + 3\).#
Grafene skjærer hverandre i punktet \((x, y) = (2, 1)\). Løsningen er \(x\)-koordinaten til skjæringspunktet som er \(x = 2\). Dermed har vi at løsningen er
Din tur!
Underveisoppgave 3
I Fig. 4.9, vises grafene til funksjonene
Bruk grafene til å løse likningen
Fig. 4.9 Grafene til \(f(x) = -2x + 1\) og \(g(x) = x - 2\).#
Fasit
Løsning
I Fig. 4.10 ser vi en utvidet versjon av Fig. 4.9 der vi har markert skjæringspunktet mellom grafene, og har lagt inn en annotering av løsningen av likningen.
Fig. 4.10 viser grafene til \(f\) og \(g\), samt skjæringspunktet \((1, -1)\) og annotering av løsningen til likningen \(f(x) = g(x)\).#
Fra Fig. 4.10 kan vi se at \(x\)-koordinaten til skjæringspunktet er \(x = 1\). Dermed er løsningen av likningen
gitt ved