6.1. Grafisk løsning

Læringsmål: grafisk løsning av lineære ulikheter

Etter dette delkapittelet, er målet at du skal:

• Kunne løse lineære ulikheter grafisk

• Kunne tegne fortegnslinjer for lineære funksjoner, og bruke disse til å løse ulikheter

• Kunne uttrykke løsningen av en ulikhet som en ulikhet eller som en løsningsmengde

Ulikheter på formen \(ax + b > 0\)

Ulikheter på formen \(ax + b > 0\)

Gitt en lineær funksjon \(f(x) = ax + b\), kan vi løse en ulikheter av typene under grafisk.

\(ax + b > 0\) eller \(ax + b \geq 0\)

Løsningen av denne typen ulikhet er alle \(x\)-verdier der grafen til \(f\) ligger over \(x\)-aksen. I tilfellet der vi løser \(f(x) \geq 0\), så inkluderer vi også punktet der \(f\) er på \(x\)-aksen.

Fig. 6.1 viser løsningsmengden for ulikhetene \(ax + b > 0\) og \(ax + b \geq 0\). Nullpunktet til \(f\) er inkludert i løsningsmengden når vi løser \(f(x) \geq 0\).

\(ax + b < 0\) eller \(ax + b \leq 0\)

Løsningen av denne typen ulikhet er alle \(x\)-verdier der grafen til \(f\) ligger under \(x\)-aksen. I tilfellet der vi løser \(f(x) \leq 0\), så inkluderer vi også punktet der \(f\) er på \(x\)-aksen.

Fig. 6.2 viser løsningsmengden for ulikhetene \(ax + b < 0\) og \(ax + b \leq 0\). Nullpunktet til \(f\) er inkludert i løsningsmengden når vi løser \(f(x) \leq 0\).

Vi går løs på et eksempel.

Eksempel 1

En lineær ulikhet er gitt ved

\[ -2x + 4 > 0. \]

Bestem løsningsmengden til ulikheten.

Løsning

Vi tegner grafen til den lineære funksjonen \(f(x) = -2x + 4\) som er vist i figuren under. Deretter finner vi alle \(x\)-verdier der grafen til \(f\) ligger på oversiden av \(x\)-aksen.

Fig. 6.3 Figuren viser grafen til \(f(x) = -2x + 4\) og løsningsmengden til ulikheter \(-2x + 4 > 0\). Merk at \(x = 2\) ikke er inkludert i løsningsmengden.

Fra grafen til \(f\), kan vi se at så lenge \(x < 2\), så ligger grafen på oversiden av \(x\)-aksen.

Vi oppgir løsningen av en ulikhet enten som en ulikhet eller som en løsningsmengde. Dermed blir løsningen av ulikheten her

Ulikhet

\[ x < 2 \]

Løsningsmengde

\[ x \in \langle \gets, 2 \rangle \]

Så er det din tur!

Underveisoppgave 1

En lineær ulikhet er gitt ved

\[ x - 3 \leq 0. \]

Grafen til den lineære funksjonen \(f(x) = x - 3\) er vist i figuren under.

Fig. 6.4 Figuren viser grafen til \(f(x) = x - 3\).

Bestem løsningen til ulikheten grafisk og oppgi den som

• En ulikhet

• En løsningsmengde

Hint: hva skal du se etter grafisk nå?

Siden du skal bestemme \(x - 3 \leq 0\), må du se etter hvor grafen til \(f(x) = x - 3\) er på eller under \(x\)-aksen.

Fasit

Ulikhet

\(x \leq 3\)

Løsningsmengde

\(x \in \langle \gets, 3]\)

Løsning

Siden vi skal løse ulikheten \(x - 3 \leq 0\), ser vi etter hvor grafen til \(f(x) = x - 3\) er på eller under \(x\)-aksen. Se figuren under:

Grafen til \(f\) ligger på undersiden av \(x\)-aksen når \(x < 3\). Grafen ligger på \(x\)-aksen når \(x = 3\). Dermed er løsningen til ulikheten

\[ x \leq 3 \quad \text{eller} \quad x \in \langle \gets, 3] \]

Ulikheter på formen \(ax + b > k\)

Vi kan i prinsippet alltid skrive om en lineær ulikhet til formen \(ax + b > 0\). Men når vi jobber grafisk, kan vi også løse ulikheter på formen \(ax + b > k\) direkte.

Ulikheter på formen \(ax + b > k\)

Gitt en lineær funksjon \(f(x) = ax + b\) og en horisontal linje \(y = k\), kan vi løse fire ulikheter som forklart i tabellen nedenfor.

Ulikhet	Løsningsmengde
\(ax + b > k\)	\(x \in L\) der grafen til \(f\) er over linja \(y = k\)
\(ax + b \geq k\)	\(x \in L\) der grafen til \(f\) er på eller over linja \(y = k\)
\(ax + b < k\)	\(x \in L\) der grafen til \(f\) er under linja \(y = k\)
\(ax + b \leq k\)	\(x \in L\) der grafen til \(f\) er på eller under linja \(y = k\)

Løsningen til ulikheten oppgis enten som en ulikhet eller som en løsningsmengde.

Figuren under illustrerer de ulike tilfellene:

Fig. 6.5 Figuren viser løsningsmengden til ulikhetene \(ax + b < k\) og \(ax + b \leq k\) til venstre, og \(ax + b > k\) og \(ax + b \geq k\) til høyre. \(x\)-verdien til skjæringspunktet mellom grafen til \(f\) og linja \(y = k\) er inkludert i løsningsmengden når likhet er tillatt.

Vi går løs på et eksempel med det samme:

Eksempel 2

En lineær ulikhet er gitt ved

\[ 2x + 1 \leq 3. \]

Løs ulikheten grafisk og oppgi løsningen som en ulikhet og som en løsningsmengde.

Løsning

Vi starter med å tegne grafen til \(f(x) = 2x + 1\) og en linje \(y = 3\). Deretter finner vi alle \(x\)-verdier der grafen til \(f\) ligger på eller under linja \(y = 3\).

Fig. 6.6 Figuren viser grafen til \(f(x) = 2x + 1\) og linja \(y = 3\). Løsningsmengden er illustrert på \(x\)-aksen. \(x\)-verdien til skjæringen mellom grafen til \(f\) og linja \(y = 3\) er inkludert i løsningsmengden fordi likhet er tillatt.

Fra den grafiske framstillingen, kan vi se at grafen til \(f\) ligger på linja \(y = 3\) når \(x = 1\). Videre ligger grafen til \(f\) under linja så lenge \(x < 1\). Dermed er løsningen av ulikheten

\[ \underbrace{x \leq 1}_\text{Ulikhet} \quad \text{eller} \quad \underbrace{x \in \langle \gets, 1]}_\text{Løsningsmengde} \]

Nå er det din tur!

Underveisoppgave 2

Figuren under viser grafen til \(f(x) = -3x + 2\).

Fig. 6.7 Grafen til \(f(x) = -3x + 2\)

Bruk figuren til å løse ulikheten

\[ -3x + 2 > -1 \]

og oppgi løsningen som

• En ulikhet

• En løsningsmengde

Hint: hva skal du se etter grafisk nå?

Her må du tegne den horisontale linja selv, eller lese av hvor den går.

Fasit

Ulikhet

\[ x < 1 \]

Løsningsmengde

\[ x \in \langle \gets, 1\rangle \]

Løsning

Vi starter med å tegne grafen til \(f(x) = -3x + 2\) og linja \(y = -1\). Deretter finner vi alle \(x\)-verdier der grafen til \(f\) ligger over linja \(y = -1\).

Fra grafen kan vi lese av at grafen til \(f\) ligger over linja \(y = -1\) når \(x < 1\). Dermed er løsningen av ulikheten

\[ \underbrace{x < 1}_\text{Ulikhet} \quad \text{eller} \quad \underbrace{x \in \langle \gets, 1\rangle}_\text{Løsningsmengde} \]

Ulikheter på formen \(ax + b > cx+d\)

Vi kan også løse ulikheter av typen \(ax + b > cx + d\) grafisk.

Ulikheter på formen \(ax + b > cx+d\)

Gitt to lineære funksjoner \(f(x) = ax + b\) og \(g(x) = cx + d\), kan vi sette opp fire ulikheter som forklart i tabellen nedenfor.

Ulikhet	Løsningsmengde
\(ax + b > cx + d\)	\(x \in L\) der grafen til \(f\) er over grafen til \(g\)
\(ax + b \geq cx + d\)	\(x \in L\) der grafen til \(f\) er på eller over grafen til \(g\)
\(ax + b < cx + d\)	\(x \in L\) der grafen til \(f\) er under grafen til \(g\)
\(ax + b \leq cx + d\)	\(x \in L\) der grafen til \(f\) er på eller under grafen til \(g\)

Løsningen til ulikheten oppgis enten som en ulikhet eller som en løsningsmengde.

Figuren under illustrerer de ulike tilfellene:

Fig. 6.8 Grafisk representasjon av løsningsmengden til ulikhetene i tabellen over. \(x\)-verdien til skjæringspunktet mellom grafen til \(f\) og grafen til \(g\) er inkludert i løsningsmengden når likhet er tillatt.

Eksempel 3

En lineær ulikhet er gitt ved

\[ -3x - 1 \geq x + 3. \]

Løs ulikheten grafisk.

Løsning

Vi starter med å tegne grafene til de to lineære funksjonene

\[ f(x) = -3x - 1 \quad \text{og} \quad g(x) = x + 3. \]

Deretter finner vi alle \(x\)-verdier der grafen til \(f\) ligger på eller over grafen til \(g\). Figuren illustrerer løsningsmengden grafisk.

Fig. 6.9 Figuren viser grafene til \(f(x) = -3x - 1\) og \(g(x) = x + 3\). Løsningsmengden er illustrert på \(x\)-aksen. \(x\)-verdien til skjæringen mellom grafen til \(f\) og grafen til \(g\) er inkludert i løsningsmengden fordi likhet er tillatt.

Fra den grafiske framstillingen, kan vi konkludere at løsningen av ulikheten er

\[ \underbrace{x \leq -2}_\text{Ulikhet} \quad \text{eller} \quad \underbrace{x \in \langle \gets, -2]}_\text{Løsningsmengde} \]

Nå er det din tur!

Underveisoppgave 3

Figuren under viser grafene til

\[ f(x) = 3x - 1 \quad \text{og} \quad g(x) = x + 1. \]

Bruk den grafiske framstillingen til å løse ulikheten

\[ 3x - 1 < x + 1. \]

Oppgi løsningen både som en ulikhet og en løsningsmengde.

Fasit

Ulikhet

\[ x < 1 \]

Løsningsmengde

\[ x \in \langle \gets, 1\rangle \]

Løsning

For å løse ulikheten

\[ 3x - 1 < x + 1 \quad \Leftrightarrow \quad f(x) < g(x), \]

der vi etter hvilke verdier av \(x\) der grafen til \(f\) ligger under grafen til \(g\). Dette kan vi lese av er når \(x < 1\), som er illustrert grafisk i figuren under.

Løsningen av ulikheten er derfor

Ulikhet

\[ x < 1 \]

Løsningsmengde

\[ x \in \langle \gets, 1\rangle \]