Oppgaver:
Algebraisk løsning av lineære likninger

Oppgave 1

Løs likningene under algebraisk.

a

\[ 2x = 4\]

Fasit

\[ x = 2 \]

b

\[2x + 2 = 4\]

Fasit

\[ x = 1 \]

c

\[x + 2 = -3x - 2\]

Fasit

\[ x = -1 \]

d

\[-x - 5 = 2x + 4\]

Fasit

\[ x = -3 \]

e

\[\dfrac{x}{2} = 4\]

Fasit

\[ x = 8 \]

f

\[\dfrac{x}{2} + 3 = 4\]

Fasit

\[ x = 2 \]

---

Oppgave 2

En lineær funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x - 3 \]

a

Bestem i hvilket punkt grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen.

Fasit

\[ (3, 0) \]

b

Bestem \(x\)-koordinaten til skjæringspunktet mellom grafen til \(f\) og linja \(y = 2\).

Fasit

\[ x = 5 \]

c

Bestem koordinatene til punktet \((x, -2)\) på grafen til \(f\).

Fasit

\[ (1, -2) \]

d

En annen funksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = 2x. \]

Bestem skjæringspunktet mellom grafene til \(f\) og \(g\).

Fasit

\[ x = -3 \]

---

Oppgave 3

En lineær funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 3x + b \]

der \(b\) er en konstant.

a

Grafen til \(f\) går gjennom punktet \((2, 3)\).

Bestem \(b\).

Fasit

\[ b = -3 \]

b

Bestem nullpunktet til \(f\).

Fasit

\[ x = 1 \]

c

En annen funksjon \(g\) er parallell med grafen til \(f\) og går gjennom punktet \((1, 2)\).

Bestem hvor grafen til \(g\) skjærer \(y\)-aksen.

Fasit

\[ y = -1 \]

d

En funksjon \(h\) skjærer grafen til \(f\) i punktet \((3, f(3))\) og går gjennom origo.

Bestem \(h(x)\).

Fasit

\[ h(x) = 2x \]

---

Oppgave 4

Grafen til en lineær funksjon \(f\) er vist i Fig. 4.16.

Fig. 4.16 viser grafen til en lineær funksjon \(f\).

a

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = 2x - 3 \]

b

En lineær funksjon \(g\) skjærer gjennom \(y\)-aksen i \(y = -1\) og går gjennom punktet \((2, f(2))\).

Bestem \(g(x)\).

Fasit

\[ g(x) = x - 1 \]

c

Bestem nullpunktet til \(g\).

Fasit

\[ x = 1 \]

d

Bestem den korteste avstanden mellom skjæringspunktene til \(f\) og \(g\) med linja \(y = 3\).

Fasit

Den korteste avstanden mellom de to skjæringspunktene er \(1\).

---

Oppgave 5

En lineær funksjon \(f\) går gjennom punktet \((1, 2)\).

a

Forklar at \(f(x)\) kan skrives som

\[ f(x) = 2 + a(x - 1) \]

der \(a\) er stigningstallet til \(f\).

Hint

Bruk ettpunktsformelen. Foreløpig vet vi ikke hva stigningstallet er!

Løsning

Grafen til \(f\) går gjennom punktet \((x_1, y_1) = (1, 2)\). Med ettpunktsformelen får vi da

\[\begin{align*} y - y_1 &= a(x - x_1) \\ \\ y - 2 &= a(x - 1) && \text{Setter inn $x_1$ og $y_1$}\\ \\ y - 2 \textcolor{red}{+2} &= a(x - 1) \textcolor{red}{+2} && \text{Legger til $2$ på begge sider}\\ \\ y &= 2 + a(x - 1) \end{align*}\]

Men siden \(y = f(x)\), har vi at

\[ f(x) = 2 + a(x - 1) \]

b

Bestem \(a\) slik at grafen til \(f\) går gjennom punktet \((2, 4)\).

Fasit

\[ a = 2 \]

c

Bestem løsningen av likningen

\[ f(x) = -2 \]

Fasit

\[ x = -1 \]

d

Bestem hvor grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen.

Fasit

\[ (0, 0) \]

---

Oppgave 6

En lineær funksjon \(f\) oppfyller likningen

\[ f(x) = 1 + a(x + 2). \]

a

Hvilket punkt er det grafen til \(f\) går gjennom uansett hva verdien til \(a\) er?

Fasit

\[ (-2, 1) \]

b

Bestem \(a\) slik at grafen til \(f\) også går gjennom punktet \((1, -2)\).

Fasit

\[ a = -1 \]

c

Bestem hvor grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen.

Fasit

\[ y = -1 \]

d

Bestem hvor grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen.

Fasit

\[ x = -1 \]

e

Bestem koordinatene til skjæringspunktet til grafen til \(f\) med linja \(y = 6\).

Fasit

\[ (-7, 6) \]