2.6. Oppgaver: mengdelære#
Mengder#
Oppgave 1
Fyll ut tabellen med \(\in\) eller \(\notin\).
Tall |
\(\in\) eller \(\notin\) |
Mengde |
|---|---|---|
\(-4\) |
\(\mathbb{R}\) |
|
\(0\) |
\(\mathbb{Z}\) |
|
\(\dfrac{3}{4}\) |
\(\mathbb{Z}\) |
|
\(2\) |
\(\mathbb{N}\) |
|
\(-1\) |
\(\mathbb{Q}\) |
|
\(\dfrac{1}{2}\) |
\(\mathbb{Q}\) |
Fasit
Tall |
\(\in\) eller \(\notin\) |
Mengde |
|---|---|---|
\(-4\) |
\(\in\) |
\(\mathbb{R}\) |
\(0\) |
\(\in\) |
\(\mathbb{Z}\) |
\(\dfrac{3}{4}\) |
\(\notin\) |
\(\mathbb{Z}\) |
\(2\) |
\(\in\) |
\(\mathbb{N}\) |
\(-1\) |
\(\in\) |
\(\mathbb{Q}\) |
\(\dfrac{1}{2}\) |
\(\in\) |
\(\mathbb{Q}\) |
Oppgave 2
Fyll ut tabellen med symbolene \(\in\), \(\notin\), \(>\) eller \(<\) slik at det blir hver rad gir en sann påstand.
Tall |
Symbol |
Mengde |
|---|---|---|
\(3\) |
\(\mathbb{N}\) |
|
\(2.33\) |
\(\mathbb{Q}\) |
|
\(-2\) |
\(\mathbb{Z}\) |
|
\(\sqrt{2}\) |
\(\mathbb{Q}\) |
|
\(\pi\) |
\(\mathbb{Q}\) |
|
\(2\) |
\(4\) |
|
\(4\) |
\(-2\) |
|
\(|-3|\) |
\(\mathbb{N}\) |
Fasit
Tall |
Symbol |
Mengde |
|---|---|---|
\(3\) |
\(\in\) |
\(\mathbb{N}\) |
\(2.33\) |
\(\in\) |
\(\mathbb{Q}\) |
\(-2\) |
\(\in\) |
\(\mathbb{Z}\) |
\(\sqrt{2}\) |
\(\notin\) |
\(\mathbb{Q}\) |
\(\pi\) |
\(\notin\) |
\(\mathbb{Q}\) |
\(2\) |
\(<\) |
\(4\) |
\(4\) |
\(>\) |
\(-2\) |
\(|-3|\) |
\(\in\) |
\(\mathbb{N}\) |
Lister, ulikheter og intervaller#
Oppgave 3
Under vises noen beskrivelser og mengder som parvis hører sammen.
Pusle sammen riktig mengde med riktig beskrivelse.
Oppgave 4
Under vises noen ulikheter og beskrivelser som parvis hører sammen.
Pusle sammen riktig ulikhet med riktig beskrivelse.
Oppgave 5
Under vises noen ulikheter og intervaller som parvis hører sammen.
Pusle sammen riktig ulikhet med riktig intervall.
Oppgave 6
Fyll ut tabellen med \(\in\) eller \(\notin\).
Tall |
\(\in\) eller \(\notin\) |
Intervall |
|---|---|---|
\(-4\) |
\(\langle -3, 5 \rangle\) |
|
\(0\) |
\(\langle -1, 1 \rangle\) |
|
\(3\) |
\(\langle 2, 4 \rangle\) |
|
\(-1\) |
\(\langle -1, 1 \rangle\) |
|
\(4\) |
\(\langle 2, 4]\) |
|
\(2\) |
\(\langle 2, 4 \rangle\) |
Fasit
Tall |
\(\in\) eller \(\notin\) |
Intervall |
|---|---|---|
\(-4\) |
\(\notin\) |
\(\langle -3, 5 \rangle\) |
\(0\) |
\(\in\) |
\(\langle -1, 1 \rangle\) |
\(3\) |
\(\in\) |
\(\langle 2, 4 \rangle\) |
\(-1\) |
\(\notin\) |
\(\langle -1, 1 \rangle\) |
\(4\) |
\(\in\) |
\(\langle 2, 4]\) |
\(2\) |
\(\notin\) |
\(\langle 2, 4 \rangle\) |
Oppgave 7
Fyll ut tabellen med intervallene og ulikhetene som mangler.
Ulikhet |
Intervall |
|---|---|
\(x < 4\) |
|
\(x \in [5, \to \rangle\) |
|
\(-3 < x\) |
|
\(x \in \langle -2, 3 \rangle\) |
|
\(-1 \leq x < 2\) |
|
\(x \in \langle -1, 2 \rangle\) |
Fasit
Ulikhet |
Intervall |
|---|---|
\(x < 4\) |
\(x \in \langle \gets, 4 \rangle\) |
\(x \geq 5\) |
\(x \in [5, \to \rangle\) |
\(-3 < x\) |
\(x \in \langle -3, \to \rangle\) |
\(-2 < x < 3\) |
\(x \in \langle -2, 3 \rangle\) |
\(-1 \leq x < 2\) |
\(x \in [-1, 2 \rangle\) |
\(-1 < x < 2\) |
\(x \in \langle -1, 2 \rangle\) |
Setningslogikk#
Oppgave 8
Fyll ut tabellen under med \(\iff\), \(\impliedby\) eller \(\implies\) slik at sammenhengene mellom påstandene stemmer.
Påstand \(P\) |
\(\iff\), \(\impliedby\) eller \(\implies\) |
Påstand \(Q\) |
|---|---|---|
\(x = -4\) |
\(x^2 = 16\) |
|
\(y \in \{-2, 2\}\) |
\(|y| = 2\) |
|
\(z^2 = 36\) |
\(z = 6\) |
|
\(p^3 < 0\) |
\(p < 0\) |
|
\(-3 < r \leq 5\) |
\(r \in \langle -3, 5]\) |
|
\(s \geq 4\) |
\(s\in \langle4, \to \rangle\) |
Fasit
Påstand \(P\) |
\(\iff\), \(\impliedby\) eller \(\implies\) |
Påstand \(Q\) |
|---|---|---|
\(x = -4\) |
\(\implies\) |
\(x^2 = 16\) |
\(y \in \{-2, 2\}\) |
\(\iff\) |
\(|y| = 2\) |
\(z^2 = 36\) |
\(\impliedby\) |
\(z = 6\) |
\(p^3 < 0\) |
\(\iff\) |
\(p < 0\) |
\(-3 < r \leq 5\) |
\(\iff\) |
\(r \in \langle -3, 5]\) |
\(s \geq 4\) |
\(\impliedby\) |
\(s\in \langle4, \to \rangle\) |
Oppgave 9
Fyll ut tabellen under slik at hver rad gir en sann logisk sammenheng.
Påstand \(P\) |
\(\iff\), \(\impliedby\) eller \(\implies\) |
Påstand \(Q\) |
|---|---|---|
\(x \in \{-1, 1\}\) |
\(x = 1\) |
|
\(y \in \{-1, 1\}\) |
\(\implies\) |
|
\(z \in \mathbb{Z}\) |
\(z \in \mathbb{Q}\) |
|
\(\impliedby\) |
\(w \in \langle -2, 3]\) |
|
\(p < -2\) |
\(\iff\) |
|
\(r < -3 \) |
\(\implies\) |
Fasit
Her finnes det flere muligheter. Men én løsning er:
Påstand \(P\) |
\(\iff\), \(\impliedby\) eller \(\implies\) |
Påstand \(Q\) |
|---|---|---|
\(x \in \{-1, 1\}\) |
\(\impliedby\) |
\(x = 1\) |
\(y \in \{-1, 1\}\) |
\(\implies\) |
\(y \in \mathbb{Z}\) |
\(z \in \mathbb{Z}\) |
\(\implies\) |
\(z \in \mathbb{Q}\) |
\(w \in \langle -4, 4\rangle\) |
\(\impliedby\) |
\(w \in \langle -2, 3]\) |
\(p < -2\) |
\(\iff\) |
\(p^3 < -8\) |
\(r < -3 \) |
\(\implies\) |
\(r^2 > 9\) |
Blandede oppgaver#
Oppgave 10
Begrepene og symbolene under hører parvis sammen. Pusle sammen riktig symbol med definisjon.
Merknad: oppgave 11
I oppgave 11 skal du jobbe med rasjonale tall som har uendelig sifferutvikling. Men fordi vi ikke kan skrive uendelig mange sifre, vil datamaskinen runde av tallet som skrives ut. Derfor vil du ende opp med at det siste sifferet typisk ikke stemmer overens med det du forventer! Ignorer derfor det aller siste sifferet i utskriften.
Oppgave 11
I denne oppgaven skal du utforske egenskapene til noen spesielle rasjonale tall.
Under kan du se et interaktivt kodevindu der du kan kjøre Pythonkode.
- Deloppgave 1
Kjør koden og undersøk utskriften. Kan du se sammenheng mellom mønsteret i tallet som skrives ut og brøkene?
Prøv å forutsi hva som vil skrives ut dersom du skriver ut brøkene \(\dfrac{21}{99}\), \(\dfrac{321}{999}\) og \(\dfrac{4321}{9999}\).
Test hypotesen din ved å endre på programmet og kjøre med de nye brøkene.
- Deloppgave 2
Endre programmet slik at du i stedet regner ut brøkene \(\dfrac{21}{990}\), \(\dfrac{321}{9990}\) og \(\dfrac{4321}{99990}\).
Kan du forklare hva som skjer med brøkene når det står en \(0\) på slutten av nevneren?
Selv om programmet over skriver ut et endelig antall med desimaler, vil mønsteret fortsette i det uendelige i matematikken.
- Deloppgave 3
Bruk observasjonene du har gjort til å fylle ut tabellen under.
Prøv deretter kjøre programmet med brøkene du forutsier for å se om du har forutsagt riktig.
Desimalrepresentasjon |
Brøkrepresentasjon |
|---|---|
\(0.7777\ldots\) |
|
\(0.003636\ldots\) |
|
\(0.0789789\ldots\) |
|
\(0.01234512345\ldots\) |
Spoiler Warning! (Fasit)
Desimalrepresentasjon |
Brøkrepresentasjon |
|---|---|
\(0.7777\ldots\) |
\(\dfrac{7}{9}\) |
\(0.003636\ldots\) |
\(\dfrac{36}{9900}\) |
\(0.0789789\ldots\) |
\(\dfrac{789}{9990}\) |
\(0.01234512345\ldots\) |
\(\dfrac{12345}{999990}\) |
Utvidelser#
Oppgave 12
Når vi jobber med likninger og likningssystemer, oppgir vi ofte løsningene som en mengde. Da kaller vi mengden for en løsningsmengde og bruker symbolet gjerne \(L\) (for Løsning) som navn på mengden.
Her er noen eksempler:
Under vises noen løsninger av likninger og tilsvarende løsningsmengder.
Oppgave 13
Her skal du lære om en alternativ måte å beskrive begrensende mengder ved hjelp av ulikheter. Denne skrivemåten er også brukt en del.
Alternativ skrivemåte for ulikheter
Når vi har beskrevet begrensede mengder med ulikheter, har vi uttrykt dem på formen \(a < x < b\). En alternativ måte å beskrive disse er ved bruk av logisk og:
For eksempel har vi
Tilsvarende sammenhenger gjelder for de andre ulikhetstegnene.
Under vises ulikheter skrevet på de to forskjellige måtene som parvis hører sammen.
Pusle sammen ekvivalente ulikheter.