1.3. De reelle tallene \(\mathbb{R}\)

Læringsmål

• Kunne beskrive de reelle tallene.

• Kunne beskrive delmengder av de reelle tallene ved hjelp av intervaller og ulikheter.

De reelle tallene \(\mathbb{R}\)

De reelle tallene \(\mathbb{R}\)

De reelle tallene er alle tall på tallinjen. De består av både de rasjonale og de irrasjonale tallene. Vi betegner mengden av de reelle tallene med symbolet \(\mathbb{R}\).

Vi kan oppsummere visuelt hvordan de ulike tallmengdene vi har sett på så langt henger sammen i figuren nedenfor.

Liten påminnelse: Symbolet \(\subset\) betyr at en mengde er en delmengden av en annen. Slik at \(A \subset B\) betyr at alle tallene i \(A\) er inkludert i \(B\).

Fig. 1.1 viser hvordan de ulike tallmengdene henger sammen. Vi har at \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\), der \(\mathbb{N}\) er mengden av naturlige tall, \(\mathbb{Z}\) er mengden av hele tall, \(\mathbb{Q}\) er mengden av rasjonale tall, og \(\mathbb{R}\) er mengden av reelle tall. De irrasjonale tallene \(\mathbb{Q}^c\) er ikke direkte inkludert i diagrammet, men er alle reelle tall som også ikke er rasjonale.

Ofte jobber vi med problemer der vi ønsker å beskrive mindre deler av tallinjen. Vi kan beskrive avgrensene deler av tallinjen ved hjelp av:

1. Ulikheter

2. Intervaller

Ulikheter

En ulikhet er en påstand som sier noe om et tall. Vi bruker gjerne en variabel \(x\) som representerer et tall for å uttrykke hvilken del av tallinja vi snakker om.

Begrensende mengder

Begrensende mengder er mengder av reelle tall som ligger mellom to tall. Vi kan beskrive disse mengdene ved hjelp av ulikheter:

Begrensende mengder som ulikheter

Vi kan skrive en begrenset mengde av reelle tall på følgende måter:

Ulikhet	Beskrivelse
\(a \leq x \leq b\)	Alle reelle tall \(x\) større enn eller lik \(a\) og mindre enn eller lik \(b\).
\(a < x < b\)	Alle reelle tall \(x\) større enn \(a\) og mindre enn \(b\).
\(a \leq x < b\)	Alle reelle tall \(x\) større enn eller lik \(a\) og mindre enn \(b\).
\(a < x \leq b\)	Alle reellle tall \(x\) større enn \(a\) og mindre enn eller lik \(b\).

Se figuren nedenfor.

Quiz 1

Ubegrensende mengder

Ubegrensede mengder er mengder av reelle tall der mengden er avgrenset av et tall \(a\) nedenfra eller et tall \(b\) ovenfra, men ikke avgrenset bra begge sider. Dette betyr at delen av tallinja strekker seg i det uendelige minst én retning. Vi kan beskrive disse mengdene ved hjelp av ulikheter:

Ubegrensede mengder som ulikheter

Vi kan skrive en ubegrenset mengde av reelle tall på følgende måter:

Ulikhet	Beskrivelse
\(x \geq a\)	Alle reelle tall \(x\) større enn eller lik \(a\).
\(x > a\)	Alle reelle tall \(x\) større enn \(a\).
\(x \leq b\)	Alle reelle tall \(x\) mindre enn eller lik \(b\).
\(x < b\)	Alle reelle tall \(x\) mindre enn \(b\).

Se figuren nedenfor.

Fig. 1.2 viser to typer ubegrensende mengder. Figuren øverst viser en mengde som er begrenset nedenfra, men ikke ovenfra. Figuren nederst viser en mengde som er begrenset ovenfra, men ikke nedenfra.

---

Quiz 2

Intervaller

Intervaller er en annen måte å beskrive deler av tallinja på. Et intervall er en mengde av reelle tall som ligger mellom to tall, og kan være enten begrenset eller ubegrenset.

Begrensede intervaller

Akkurat som med ulikheter, kan vi beskrive en begrenset mengde av reelle tall ved hjelp av intervaller.

Vi minner om at “\(\mid\)” leses som “slik at”. Det betyr at når vi skriver \(\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}\), leser vi dette som “alle reelle tall \(x\) slik at \(a \leq x \leq b\)”.

Begrensende Intervaller

Intervaller kan skrives på følgende måter:

Intervall	Beskrivelse
\([a, b]\)	\(\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}\)
\(\langle a, b \rangle\)	\(\{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}\)
\([a, b \rangle\)	\(\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\}\)
\(\langle a, b]\)	\(\{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\}\)

Quiz 3

Ubegrensede intervaller

Vi kan også beskrive ubegrensede mengder av reelle tall ved hjelp av intervaller. Disse intervallene strekker seg i det uendelige i minst én retning.

Ubegrensede intervaller

Ubegrensede intervaller kan skrives på følgende måter:

Intervall	Beskrivelse
\([a, \to\rangle\)	\(\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\}\)
\(\langle a, \to\rangle\)	\(\{x \in \mathbb{R} \mid x > a\}\)
\(\langle\gets, b]\)	\(\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq b\}\)
\(\langle\gets, b \rangle\)	\(\{x \in \mathbb{R} \mid x < b\}\)

---

Quiz 4